108年 - 108 身心障礙學生升學大專校院甄試 (四技二專組)試題-共同：數學C#145096

1. 設 $\begin{vmatrix} a & 1 & 2 \\ b & 2 & 3 \\ c & 3 & 4 \end{vmatrix} = 5$、$\begin{vmatrix} d & 1 & 2 \\ e & 2 & 3 \\ f & 3 & 4 \end{vmatrix} = 3$，則 $\begin{vmatrix} 3a2d & 1 & 2 \\ 3b2e & 2 & 3 \\ 3c2f & 3 & 4 \end{vmatrix} = ?$
(A) 7(B) 8(C) 9(D) 10

2. 設 \( a=\sqrt{5}, b=\sqrt[3]{13}, c=\sqrt[6]{110} \)，則 \( a, b, c \) 的大小為何？ (A) \( a>b>c \) (B) \( b>c>a \) (C) \( c>a>b \) (D) \( b>a>c \)

3. 設 \(n\) 為大於 3 的自然數，若 \(C_{3}^{16} = C_{2n+1}^{16}\)，則 \(P_{2}^{n} = ?\) (A) 30 (B) 120 (C) 240 (D) 360

4. 設 F, F' 為雙曲線 $9x^2 - 16y^2 = -144$ 的兩焦點，且 P 為此雙曲線上一任一點，則 $|\overline{PF} - \overline{PF'}| = ?$ (A) 6 (B) 8 (C) 18 (D) 32

5. 設 P 為 (3,-1) 及 (-1,5)二點的中點，則 P 到直線 3x+4y=1 的距離為何？ (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

6. 設 \( a=\sin 74^\circ \), \( b=\cos 74^\circ \), \( c=\tan 74^\circ \), 則 \( a,b,c \) 的大小為何？ (A) \( a>b>c \) (B) \( c>b>a \) (C) \( c>a>b \) (D) \( b>c>a \)

7. 設 \(\triangle ABC\) 的周長為 6，且三內角的比為 1:2:3，則最大邊長為何？ (A) \(3-\sqrt{3}\) (B) \(3\sqrt{3}-3\) (C) \(6-2\sqrt{3}\) (D) \(3+\sqrt{3}\)

8. 已知 A(1,1) 與 B(-2,5) 為平面上兩點。若向量 \(\vec{v}=(a,b)\) 與向量 \(\overrightarrow{AB}\) 同方向，且\(|\vec{v}|=2\)，則 \(a+b=?\) (A) \(-\frac{1}{5}\) (B) \(-\frac{2}{5}\) (C) \(\frac{1}{5}\) (D) \(\frac{2}{5}\)

9. 設多項式 \(f(x)\) 除以 \(x+1, x-2\) 的餘式分別為 5, -1，則 \(f(x)\) 除以 \(x^2-x-2\) 的餘式為何？ (A) \(-2x+3\) (B) \(2x-3\) (C) \(-6x+11\) (D) \(6x-11\)

10. 設 \( i = \sqrt{-1} \) 且 \( a, b \) 為實數。若 \( (a+bi)(1-3i) = 7-i \)，則 \( a^2+b^2 = ? \) (A) 2 (B) 5 (C) 8 (D) 10

11. 不等式 $-6x^2 + 13x + 5 \geq 0$ 的解為何？

(A) $x \leq -\frac{1}{3}$ 或 $x \geq \frac{5}{2}$
(B) $-\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{5}{2}$
(C) $x \leq -\frac{5}{2}$ 或 $x \geq \frac{1}{3}$
(D) $-\frac{5}{2} \leq x \leq \frac{1}{3}$

12. 設 \(\log_2 13 - \frac{1}{3}\log_2 125 - \log_2 \frac{13}{35} + \log_2 \frac{x}{7} = 2\)，則 \(x = ?\) (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16

13. 將 \(a, b, c, d, e, f\) 等 6 個字母做直線排列。若 \(a\) 不排首位，\(b\) 必排末位，則共有幾種不同排列數？ (A) 24 (B) 48 (C) 96 (D) 192

14. 已知橢圓方程式為 $\sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} + \sqrt{(x-1)^2 + (y+4)^2} = 10$，則正焦弦長為何？

(A) $\frac{9}{5}$
(B) $\frac{16}{5}$
(C) $\frac{18}{5}$
(D) $\frac{32}{5}$

15. 設 $f(x) = (5x3)^4$，則 $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)f(1)}{x1} = ?$
(A) 32
(B) 40
(C) 80
(D) 160

16. $\int_1^4 \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x} dx = ?$
 (A) $\frac{17}{2}$
 (B) $\frac{19}{2}$
 (C) $\frac{21}{2}$
 (D) $\frac{23}{2}$

17. 設 $x = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{7}\sqrt{6}}$，則 $x^3 y + xy^3 = ?$
(A) 5
(B) 12
(C) 18
(D) 26

18. $\sum_{n=1}^{10} [(3n1) + 2^n] = ?$
(A) 2101
(B) 2201
(C) 2301
(D) 2401

19. 一袋中裝有10元硬幣6枚、50元硬幣4枚，今隨機取出2枚硬幣，則所得金額的數學期望值為何？
(A) 44
(B) 48
(C) 52
(D) 56

20.設30、80、40、75、45、x、60、50、80、90這十個數字的中位數為65，則算術平均數為何？
(A) 62
(B) 64
(C) 66
(D) 68