113年 - 113 國立嘉義大學_碩士班(乙組)招生考試試題_應用數學系：機率統計#144169

(a) \(A^c\) 與 \(B\)

(b) \(A^c \cap B\) 與 \(A\)

(c) \(A^c\) 與 \(B^c\)

(d) \( (A^c \cap B^c) \)與\( (A \cup B) \)

2. (20分) 已知兩種品牌電視的壽命服從常態分配且母體變異數相等。品牌一有 5 個樣品，平均數 \(\bar{X} = 8.6\)，樣本變異數 \(s_X^2 = 13.3\); 品牌二有 8 個樣品，平均數 \(\bar{X} = 9\)，樣本變異數 \(s_X^2 = 8.57\)。請以顯著水準 \(\alpha = 0.05\) 檢定，這兩種品牌的電視壽命是否有差異？

3. (10 分) 投擲公正六面骰子一次, 令 X 為隨機變數且
\[
X = \begin{cases}
0, & \text{若骰子擲出點數 } 1, 3, \text{ 或 } 5; \\
1, & \text{若骰子擲出點數 } 2, 4; \\
2, & \text{若骰子擲出點數為 } 6,
\end{cases}
\]
假設獨立投擲骰子兩次, 請計算 \( P(|X_1 - X_2| = 1) \)。

(a) 隨機變數 Y的累積密度函數。(5 分)

(b) 隨機變數 Y 的機率密度函數。(5 分)

(a) 分別計算隨機變數 X₁ 及X₂ 的邊際機率密度函數。(5 分)

(b) 隨機變數 \(X_1\) 及 \(X_2\) 是否獨立？須說明原因。(5 分)
[注意] \(Z_{0.01} = 2.326\), \(Z_{0.02275} = 2\), \(Z_{0.025} = 1.96\), \(Z_{0.05} = 1.645\)。

(a) 寫出 $\mu$ 的對數概似函數 $l(\mu) = \ln(L(\mu|x_1, ..., x_n))$。(2 分)

(b) 說明 $\mu$ 的最大概似估計式為 $\hat{\mu}_{MLE} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i = \bar{X} \circ$ (8 分)

(c) 請問 \( P(X_1 = 0) = e^{-\mu} \) 的最大概似估計式為何？(5 分)

(a) 基於調查結果，請對該產品顧客滿意度提出一合理點估計 結果 \( \hat{p} \)。(2 分)

(b) 寫出上述立場的虛無假設 (H₀ ) 與對立假設 (H₁ )。(3 分)

(c) 在顯著水準a 之下，請寫出對應之拒絕域。(5 分)

(d) 當 a = 0.05 時，結論為何？(5 分)