115年 - [無官方正解]112-1 高三第二學期定期考試題：數甲#142994

科目：【阿摩】未分類題庫 | 年份：115年 | 選擇題數：3 | 申論題數：15

試卷資訊

所屬科目：【阿摩】未分類題庫

選擇題 (3)

1. 下列哪些函數在x = 2處可微分？
(A) 。
(B) ，其中[ ]表高斯符號。
(C)
(D)
(E)

2. 已知f(x)為一個實係數多項式函數，請選出正確的選項。
(A) 若f(x)在x = c處有極值，則f′(c) = 0。
(B) 若f′(c) = 0且f′′(c) ≠ 0，則f(x)在x = c處有極值。
(C) 若點(c, f(c))為函數圖形y = f(x)的反曲點，則f′′(c) = 0。
(D) 若f′(??) = f′′(c) = 0，則f(c)不是極值。
(E) 若f(x)在區間(a, b)內為嚴格遞增函數，則區間(a, b)中的任意實數x，
恆有f′(x) > 0。

3. 已知f(x) = a(x − 3)3 + b(x − 3)2 + c(x − 3) + d為一個實係數三次函
數，請選出正確的選項。
(A) 若f′′(t) = 0，則y = f(x)的反曲點為(t, f(t))。
(B) 若b = 0，則函數圖形y = f(x)的反曲點為(3, d)。
(C) 若A、B、C為函數圖形y = f(x)上相異三點滿足B為A和C的中點，
則y = f(x)的反曲點為點??。
(D) 若b = 0且ac > 0，則f(x)為嚴格遞增函數。
(E) y = f(x)在x= 3處的一次近似為y = f′(3)(x − 3) + d。

申論題 (15)

1. 設函數 \(f(x) = \frac{(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)}\) , 則 \(f'(5) = \frac{\textcircled{4}}{\textcircled{5}\textcircled{6}}\) 。
2. 設函數 \( g(x) = (x^2 + 2x - 9)^5 \)，則 \( g(x) \) 在 \( x = 2 \) 處的導數為 ⑦ ⑧ 。
3. 設函數 \(f(x) = x^3 - 8x + 4\)，則過點 \(P(1,1)\) 的切線方程式為
4. 設 $f(x), g(x)$ 皆為首項係數為 1 的二次函數，且 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-3}{x-2} = 5$ , $\lim_{x \to 2} \frac{g(x)-5}{x-2} = 3$ 。 令 $F(x) = f(x)g(x)$，則 $F'(2) = \underline{12} \underline{13}$ 。
5. 給定實數 $a, b$, 設函數 $f(x) = \begin{cases} x^2 + x, & x \ge 2 \\ ax + b[x^2], & x < 2 \end{cases}$, 其中 $[x^2]$ 表示不大於 $x^2$ 的最大整數。若 $f(x)$ 在 $x = 2$ 處可微, 則數對 $(a, b) = (\text{14}, \text{15}\frac{\text{16}}{\text{17}})$。
6. 設實係數二次函數 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)，且圖形 \(y = f(x)\) 在 \(x = 3\) 處的切線 為 \(y = 6x - 26\)。令 \(g(x) = (x - 1)f(x)\)。若 \(g(x)\) 在 \(x = 1\) 處有極值，則 \( (a, b, c) = (18, 19, 20, 21, 22, 23) \)。
7. 設函數 \(f(x) = 2x^3\) 與 \(g(x) = 6x + k\) 兩圖形有三個相異交點\((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), \((x_3, y_3)\) 滿足 \(x_1x_2x_3 < 0\), 則實數 \(k\) 的範圍為 (24)(25) \(< k <\) (26) 。
8. 已知四次函數 f(x)有兩個反曲點 \((2,4)\), \((-1,85)\)，且 \(y = f(x)\) 在 \(x = -1\) 處的切線與 \(x\) 軸平行，則 f(1) =。
9. 建國油行預計生產一瓶容器為圓柱形(含蓋子)的沙拉油，容量為 4 公升。 為了使該容器的生產成本最低(即表面積最小)，則此圓柱形的底部圓 形的半徑為 29 30 3√\(\frac{31}{\pi}\) 公分。(註：1L = 1000ml = 1000 立方公分)

(1) 討論函數f(x)的遞增、遞減區域。 (3 分)
(2) 試求函數f(x)的所有極值發生的點坐標。(3 分)
(3) 討論函數f(x)的凹向性。 (3 分)
(4) 試求函數f(x)的所有反曲點。 (3 分)


(1) \( f'(6) \) 的值。 (4分)

(2) \( f''(6) \) 的值。 (6分)

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