115年 - 115 司法特種考試_三等_司法事務官營繕工程事務組、檢察事務官營繕工程組：結構分析（包括材料力學與結構學）#143332

一、如圖（a）所示均質、等向性彈性材料之平面應力元素，已知τ_xy=30MPa、σ_x=80MPa、σ_y=0MPa，材料蒲松比v=0.25。如圖（b）所示於該平面應力元素表面貼附應變規，已知θ=45°，其量測所得之應變值為ε_a=540×10^-6。求正向應變ε_x、ε_y、材料之剪力彈性模數G值、最大同平面剪應力及最大同平面剪應變。（25分）

參考公式：\( \epsilon_a = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} + \frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2} \cos 2\theta + \frac{\gamma_{xy}}{2} \sin 2\theta \)

二、如圖所示平面桿件結構，a點為鉸支承，b點為滾支承，長度L=10m，桿件有相同彈性模數E與慣性矩I，且EI=4000kN-m²，桿件兩端分別承受大小相等、方向相反之端點彎矩M₀。已知此結構之臨界挫屈載重\( P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{L^2} \)，當水平外力P=100kN、且端點彎矩M₀=18kN-m，考量二階彎矩（Second-ordermoment）的幾何非線性效應，求桿件中點之垂直位移及該點之斷面彎矩。（25分）

提示：\( \frac{d^2 y}{dx^2} + \lambda^2 y = m_1 \)；邊界條件y=0，\(y(\ell)=0\) ﹔\( \lambda^2 = \frac{P}{EI} \)，\(m_1 = \frac{M_0}{EI}\)微分方程的解\( y(x) = \frac{m_1}{\lambda^2 \sin \lambda \ell} [\sin \lambda \ell - \sin \lambda x - \sin \lambda (\ell - x)] \)

三、如圖所示梁結構，a點為鉸支承，d點及e點為滾支承，c點為鉸接，梁桿件具有相同之彈性模數E與慣性矩I，且EI=20000kN-m²，梁桿件在b點處設置一線性彈簧，其彈簧係數為k。已知b點梁桿件斷面彎矩為，求a點鉸支承之垂直反力、b點彈簧內力、d點M_b=15kN-m（正彎矩）斷面彎矩，以及b點垂直位移與彈簧係數k。（25分）

四、如圖示剛架結構，不考慮桿件的軸向變形，a點及c點為鉸支承，桿件有相同彈性模數E與慣性矩I，且EI=20000kN-m²。已知b點水平位移及轉角均為零，求a點鉸支承之水平與垂直反力、b點垂直位移及其斷面彎矩。（25分）