115年 - 115 國家安全情報特種考試_三等_數理組（選試英文）：線性代數#140914

(一)請將聯立方程式表示 成矩陣方程式的形式 \(Ax = \mathbf{b}\), \( \mathbf{x} = [x_1, x_2, x_3, x_4]^T \), 求 \(A = ?\), \( \mathbf{b} = ? \)(5 分)

(二)求出此聯立方程式的通解， x = ？(10 分)

二、考慮函數 T： \( \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^{2 \times 2} \) 是一個線性轉換 T(x₁ ,x₂ )\(x_1 \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)  求 x₁ , x₂ 使得 T(x₁ , x₂ )= \( \begin{bmatrix} -3 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)。(10 分)

三、假設 \(A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & -3 & 8 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) ，求 A 的反矩陣。(10 分)

(一)求 A 的行空間(Column space of A) 的基底；(7 分)

(二)求 A 的零空間(Null space of A)的基底。(8 分)

五、假設 \(A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 6 & 6 \\ 4 & 2 & 4 & 3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \) ，求 A 的行列式值。(10 分)

(一)求將向量 y 正交投影(orthogonal projection)至 Span {$\mathbf{u}_{1}$, $\mathbf{u}_{2}$, $\mathbf{u}_{3}$}的向量； (10 分)

(二)求向量 y 離向量空間 Span {$\mathbf{u}_{1}$, $\mathbf{u}_{2}$, $\mathbf{u}_{3}$} 的最短距離。 (5 分)

七、如果 \( \{ \mathbf{x}_1 = (1, -4, 0, 1)^T, \mathbf{x}_2 = (7, -7, -4, 1)^T \} \)  是子空間 W 的基底，\(W \subset \mathbb{R}^4\)， 請使用 Gram-Schmidt 正交處理技術求出子空間 W 的正交歸一基底 (orthonormal basis)。(10 分)

(一)求出矩陣 A 的特徵值(eigenvalues) ，(6 分)

(二)求出每個特徵值對應的特徵空間(eigenspaces) 。(9 分)