題組內容

一、某研究人員擬進行兩個水稻品種的平均產量顯著差異性測驗，因此他執行下列的假說檢定：H₀： μ₁ =μ₂ vs. H₁：μ₁ ≠μ₂。設定顯著水準α = 0.05，使用學生氏 t 檢定。

(二)請解釋什麼是檢定力（power）？並說明為什麼學生氏 t 檢定是這個假說檢定的最佳檢定（the most powerful test）？

Tsai

詳解 #7486958

2026/08/21

1. 檢定力（Power of a Test）的定義

（1）定義：檢定力是指當對立假設（H1）為真時，研究者能正確拒絕虛無假設（H0）的機率。換句話說，就是當兩水稻品種產量確實存在差異時，檢定方法能夠成功偵測出該差異的「敏感度」或「成功率」。

（2）數學表示：若第二型錯誤（Type II Error，型二錯誤：當 H1 為真卻誤接受 H0）的機率為 beta，則檢定力定義為：

Power = 1 - beta = P(拒絕 H0 ｜H1 為真)

2. 為什麼學生氏 t 檢定是此假說檢定的最佳檢定（The Most Powerful Test）？

在統計理論中，評估一個檢定是否為「最佳」，主要是看它是否為均勻最強檢定。學生氏 t 檢定在此情境下為最佳檢定，原因如下：

（1）符合內曼－皮爾遜樞紐理論（Neyman-Pearson Lemma）：

根據 Neyman-Pearson 理論與概似比檢定（Likelihood Ratio Test, LRT）原則，當母體資料服從常態分布且變異數未知但相等時，導出的最適概似比統計量，會嚴格等價於學生氏 t 統計量。

（2）在固定型一錯誤（alpha）下極大化檢定力：

對於單雙尾檢定（如本題），在所有顯著水準維持在 alpha = 0.05 的非偏檢定方法中，t 檢定能夠保證對任何可能的真實均值差，擁有最高之拒絕概率（即最高的1- beta）。

（3）充分統計量的有效利用：

t 檢定完整利用了樣本平均數與樣本變異數，這兩者是常態母體參數的最小充分統計量，因此能獲得最高效的統計訊息，不會損失任何資訊。

綜上所述，在母體常態且齊一變異數的假定下，學生氏 t 檢定能提供最具優越性與精準度的檢定力，故為該情境下的最佳檢定。