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【阿摩】未分類題庫
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103年 - 103 國立高雄大學_博士班招生考試試題_應用數學系(一般生、在職生)：基礎數學 (含微積分、高等微積 分及線性代數)#147995
> 申論題
1 a. (5) State the Fundamental Theorem of Calculus.
相關申論題
b. (5) If f is a continuous function such that $$\int_{1}^{x} f(t)dt = (x - 1)e^{2x} + \int_{1}^{x} e^{-t}f(t)dt$$ for all x, find f(x).
#611012
a. (5) $\bigcup_{k=1}^{\infty} U_k$ is open.
#611013
b. (5) $\bigcap_{k=1}^{\infty} U_k$ is open.
#611014
3 (10) Suppose that $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ is continuous function. Show that f is uniformly continuous on [0, 1].
#611015
4 a. (10) Let $E \subset \mathbb{R}$ and suppose that $f_n \to f$ uniformly on E, as $n \to \infty$. If each $f_n$ is continuous, then f is continuous.
#611016
a. (5) Show that T is a linear transformation.
#611017
b. (10) Let $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$. Find the eigenvalues and eigenvectors of $T$.
#611018
6 (10) Suppose that $A \in M_{m \times n}(\mathbb{R})$ and $\operatorname{rank}(A) = n$. Show that $A^T A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ is an invertible matrix.
#611019
7 (10) Let $A, B \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$. If $B$ is invertible, then show that there exist a scalar $\lambda \in \mathbb{C}$ and a nonzero vector $x \in \mathbb{C}^n$ such that $Ax = \lambda Bx$.
#611020
a. (5) Let $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$. Find $\| A \|$.
#611021
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