2. (10 pts) Show that

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & i \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad \begin{pmatrix} i & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

are not unitarily equivalent.

(a) (5 pts) Let \( P^{-1}AP = D \) be a diagonal matrix. Prove that \( e^A = Pe^D P^{-1} \).

(b) (10 pts) Find \( A, B \in \mathsf{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \) such that \( e^A e^B \neq e^{A + B} \).

(a) (6 pts) Show that \( \pm 1 \) are the only eigenvalues of \( T \).

(b) (6 pts) Describe the eigenvectors corresponding to each eigenvalue of \( T \).

(c) (8 pts) Find an ordered basis \( \beta \) for \( \mathsf{M}{n\times n}(\mathbb{R}) \) such that \( [T]{\beta} \) is a diagonal matrix.

5. (15 pts) Let$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$Find a Jordan canonical form $J$ of $A$ and an invertible matrix $Q$ such that $J = Q^{-1}AQ$.

6. (15 pts) State and prove the Cayley-Hamilton Theorem.

7. (15 pts) Let \( T \) be a projection on a finite-dimensional inner product space \( V \) such that \( \| T(x) \| \leq \| x \| \) for all \( x \in V \). Prove that \( T \) is an orthogonal projection.

6 (15) Let \( M \) be a compact metric space and \( \Phi : M \to M \) be such that \( d(\Phi(x), \Phi(y)) < d(x, y) \) for all \( x, y \in M \), \( x \neq y \). Show that \( \Phi \) has a unique fixed point.

1. (15%) For the circuit shown in Fig. 1 first, evaluate T i(s)=Vi(s)/Vs(s) and the correspondingcutoff (corner) frequency. Second, evaluate T o(s)=Vo(s)/Vi(s) and the corresponding cutofffrequency. Put each of the transfer functions in the standard form and combine them to form theoverall transfer function, T(s)=Ti(s)×To(s). Provide a Bode magnitude plot for ∣T(jw)∣. Whatis the bandwidth between 3-dB cutoff points?

115年 - 115 國立臺北大學_日間學士班轉學生招生考試試題_資訊工程學系日間學士班3年級：線性代數#147399

114年 - [無官方正解]114 臺灣綜合大學系統_學士班轉學生考試試題:線性代數#137898

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110年 - 110 國立清華大學碩士班考試入學試題_數學系碩士班:線性代數#105741

110年 - 110 國立高雄大學_碩士班招生考試_應用數學系：線性代數#105691

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_數學系/數學、應用數學組(一般生、在職生):線性代數#105306

110年 - 110 國立清華大學碩士班考試入學試題_數學系:線性代數#104957