半衰期換算與濃度衰減計算

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建立於 2026年10月25日

學習重點 熟記一階半衰期與速率常數的換算：t½＝0.693／k；k＝0.693／t½。 能從濃度式 Cp＝C₀ × e^(−kt) 辨認排除速率常數，並確認時間單位。 會用半衰期個數計算殘留藥量，並區分「殘留量」與「已排除量」。 會計算降到指定濃度比例所需時間，以及當下的排除速率。 核心觀念 一、一階動力學：每段相同時間排除相同比例 一階動力學的特徵是當下排除或降解速率與當下藥量、濃度成正比。藥量越多，每小時排除的量越多；藥量逐漸減少時，每小時排除的量也跟著減少。因此，一階過程是每段相同時間減少相同比例，而非減少相同數量。 若以 X 表示體內藥量，則 dX／dt＝−kX；積分後為 X＝X₀ × e^(−kt)。濃度的表示法相同：C＝C₀ × e^(−kt)。這些公式可用於符合一階動力學的體內藥物排除與溶液化學降解。 k 的單位為時間的倒數，如 hr⁻¹、day⁻¹。使用公式時，k 與 t 的時間單位必須配合：k 為 hr⁻¹，算出的時間就是小時；k 為 day⁻¹，算出的時間就是天。 二、半衰期與 k 的雙向換算 半衰期是藥量或濃度降至起始值一半所需的時間。將 C／C₀＝1／2 代入指數式，可得 t½＝ln 2／k＝0.693／k；反過來則是 k＝0.693／t½。 在同一個 k 不變的一階過程中，半衰期固定，與起始藥量、起始濃度無關。由 100 mg 降至 50 mg，與由 50 mg 降至 25 mg，所需時間相同。 已知條件換算結果 k＝0.20 hr⁻¹t½≈3.47 hr k＝0.3465 hr⁻¹t½＝2 hr k＝0.46 hr⁻¹t½≈1.5 hr k＝0.23 hr⁻¹t½≈3 hr k＝0.40 hr⁻¹t½≈1.73 hr t½＝6 hrk＝0.1155 hr⁻¹≈0.116 hr⁻¹ 0.693 是 ln 2；常用對數 log 2 約為 0.301，兩者由 ln 2＝2.303 × log 2 換算。求半衰期時直接使用 0.693，避免混用對數底數。 三、從濃度方程式辨認排除速率常數 一室模式快速靜脈注射後，若濃度符合 Cp＝C₀ × e^(−kt)，指數中與時間 t 相乘的正數就是 k。例如 Cp＝60 × e^(−0.46t)，表示 k＝0.46 hr⁻¹，故半衰期約為 1.5 小時。 指數前的 60 是起始濃度係數，不是 k。題目已給完整濃度式、只問半衰期時，通常不必使用體重、mg/kg 劑量或初始濃度。但「劑量不影響半衰期」的前提，是題設的一階過程與 k 維持不變，不能推論所有藥物在任何條件下都如此。 口服一室模式的濃度式可能包含排除與吸收兩個指數項，例如 Cp＝A × [e^(−kt)−e^(−ka t)]，其中 ka 為吸收速率常數。求排除半衰期應使用 k；若另有同一藥物的快速靜脈注射濃度式，可由靜脈式確認排除常數。不可只因某項指數較大或寫在前面，就認定它是排除常數。 四、由兩個濃度求 k 若未直接提供 k，而是給定同一個一階衰減過程中兩個時間點的濃度，可使用： k＝ln(C₁／C₂)／(t₂−t₁)再以 t½＝0.693／k 求半衰期。 其中 C₁ 為較早時間的濃度，C₂ 為較晚時間的濃度。若濃度恰好減半，兩次測量之間的時間差就是半衰期。若使用常用對數，則 k＝2.303 × log(C₁／C₂)／(t₂−t₁)。 五、用半衰期個數計算殘留量 先求半衰期個數 n＝經過時間／t½，再算 殘留量＝起始量 × (1／2)^n。濃度也可用相同比例計算。 經過半衰期數殘留比例已排除比例 150%50% 225%75% 312.5%87.5% 46.25%93.75% 例如 k＝0.1155 hr⁻¹ 時，半衰期為 6 小時。起始藥量 400 mg，經 12 小時即經過兩個半衰期，殘留 400 × 1／4＝100 mg。若起始藥量為 100 mg，經 18 小時即經過三個半衰期，殘留約 12.5 mg。 k＝0.115 hr⁻¹ 時，半衰期約為 6.03 小時，選擇題可視選項精度近似為 6 小時。若時間不是整數個半衰期，直接使用 X＝X₀ × e^(−kt) 即可。 六、降到任意比例所需時間 由濃度衰減式移項可得 t＝ln(C₀／C)／k＝2.303 × log(C₀／C)／k。 降到原來的 10%：C／C₀＝0.1，因此 t＝ln 10／k＝2.303／k，約為 3.32 個半衰期。 若 k＝0.8 day⁻¹，降到原濃度 10% 所需時間為 2.303／0.8≈2.9 天。 降解 10%代表仍剩 90%，所需時間為 ln(1／0.9)／k≈0.105／k，與「降到 10%」不同。 當題目指定剩餘比例時，起始濃度會在 C₀／C 中約去，不必把起始濃度額外乘入時間公式。 七、排除速率與速率常數不同 當下排除速率＝k × 當下體內藥量 X，單位為 mg/h 等藥量／時間；k 本身的單位則為 hr⁻¹。排除速率通常以正值表示排除的快慢，而 dX／dt 帶負號，表示體內藥量下降。 例如半衰期為 3 小時，k＝0.693／3＝0.231 hr⁻¹；當體內藥量為 50 mg，當下排除速率為 0.231 × 50＝11.55 mg/h。不能用 50／3 計算，因為半衰期內只排除當時藥量的一半，而且排除速率持續變動。 常考陷阱 公式倒置：t½＝k／0.693 錯誤；正確是 0.693／k。k 越大，排除越快，半衰期應越短。 把 1／k 當半衰期：k＝0.4 hr⁻¹ 時，1／k＝2.5 小時，半衰期應為約 1.73 小時。 把濃度係數當 k：濃度式前面的 40、60 等數值不代入半衰期公式，應辨認 e 的指數項。 把一階當成固定量下降：一階每個半衰期剩下一半，不能每段時間都扣除相同 mg 數；固定量下降屬於零階的特徵。 殘留與排除混淆：殘留量＝起始量 × 剩餘比例；已排除量＝起始量−殘留量。 跨日時間算錯：晚上 7 時到隔天上午 7 時是 12 小時。 百分比語意誤判：「降到 10%」是剩一成；「降解 10%」是剩九成。 過早四捨五入：先保留 k 或半衰期的有效數字，最後依選項取近似值。 記憶口訣 「半衰零點六九三，除以 k 就算完。」 「一半、四分一、八分一。」依序對應一、二、三個半衰期的殘留比例。 「降到一成，二點三零三除以 k；當下速率，k 乘當下量。」