中位數的排序與未知資料

MoAI - 您的AI助手

建立於 2026年11月10日

學習重點 先排序，再找中央位置：中位數看的是資料排序後的位置，不是原始登記順序的中間，也不是最大值與最小值的平均。 分清奇數筆與偶數筆：奇數筆取正中央一項；偶數筆取中央兩項的算術平均。 次數資料用累積人數定位：先將作答情形換成分數，由低到高累積人數，確認中央位置落在哪個分數群。 新增資料要重新判斷位置：加入一筆後筆數的奇偶會改變，要看新資料插在原中位數的哪一側，再找新的中央兩項。 未知分數要同時滿足三類條件：平均數決定總和，中位數限制中央資料，名次與高低關係用來確認排列與歸屬。 核心觀念 一、中位數是排序後的位置代表值 將全部資料由小到大排列，記為 x₁、x₂、……、xₙ。求中位數時，第一步一定是確認資料筆數與排列順序；不能直接取原始登記順序的中央數字。 資料筆數中央位置中位數算法 奇數筆第（n＋1）÷2 個位置直接取該位置的數值 偶數筆第 n÷2 個與其後一個位置兩個數值相加後除以 2 例如，25 筆資料取排序後第 13 個數值；10 筆資料取第 5、6 個數值的平均；6 筆資料則取第 3、4 個數值的平均。位置與數值必須分開看：第 5、6 個是位置，找到這兩個位置上的實際分數後，才能計算。 若十筆分數排序後為 56、60、68、70、70、76、80、82、98、100，中央兩項是第 5 個的 70 與第 6 個的 76，因此中位數為（70＋76）÷2＝73。中位數可以不是任何一位學生的實際分數，這是偶數筆資料的正常情形。 遇到重複分數，也要依人數逐筆保留。兩人同為 70 分，就占兩個排列位置，不能將相同分數合併成一筆後再找中央位置。 二、以人數分組呈現時，用累積位置找中位數 題目若用「全對、錯一題、錯二題」描述成績，應先換算分數，再按照分數由小到大累積人數。若共有 5 題、每題 20 分，錯 k 題的分數就是（5－k）×20。 作答情形分數人數由低到高所占位置 錯三題405第 1～5 個 錯二題605第 6～10 個 錯一題805第 11～15 個 全部答對10010第 16～25 個 全班共 25 人，中位數位於第 13 個位置，落在 80 分這一群，因此中位數為 80。這類題目不必將所有分數逐一寫出，只要累積人數能涵蓋中央位置，就能判定。注意人數最多的是 100 分（眾數），但中位數仍是 80。 若總人數為偶數，則須分別確認中央兩個位置屬於哪一群；兩個位置可能落在同一分數群，也可能跨越兩個分數群，不能一律只查其中一個位置。 三、加入一筆資料，追蹤中央位置如何移動 新增資料後，必須重新計算總筆數。原本是奇數筆，加入一筆就變成偶數筆；原本是偶數筆，加入一筆就變成奇數筆。新中位數取決於新排列的中央位置，不能只憑新增數值大或小就直接判定。 以原本有 2k＋1 筆、中央值為 m 的資料為例： 加入比 m 大的資料：新中央兩項為原本的 m，以及緊接在 m 右側的數值。 加入比 m 小的資料：新中央兩項為緊接在 m 左側的數值，以及原本的 m。 加入等於 m 的資料：新中央兩項皆為 m，中位數維持 m。 若已排序資料的中央附近連續列為 68、69、70，且已知原中位數為 69，則 69 是原本的中央一項。加入 95 時，95 比 69 大，插在 70 的右側，新中央兩項便是 69、70，中位數為（69＋70）÷2＝69.5。 省略號代表還有其他資料，不能只數畫面上看得到的數字。解題關鍵是由已知中位數定位中央，再找出插入後與它相鄰的數值，不需要知道完整筆數。 四、平均數、中位數與名次共同推算未知分數 這類題目的各項條件各有用途，應分別轉成等式或大小關係，再合併判斷。 已知條件數學表示主要用途 6 人平均數為 68六人成績總和＝6×68＝408求未知分數的總和 6 人中位數為 68由小到大第 3、4 個分數之和＝136限制中央兩項 某人是第三名無並列名次時，由高到低排第 3對應由小到大第 4 個位置 小明比小華高分小明分數＞小華分數辨認兩個未知分數的歸屬 設小明、小華分數分別為 a、b，另外四筆已知分數（含小魚）的總和為 S，則由平均數可得a＋b＝408－S，由高低關係可得 a＞b。 將六筆分數由小到大記為 x₁ 至 x₆，中位數條件為x₃＋x₄＝136。若小魚的分數為 f，小魚是第三名便表示 x₄＝f，因此 x₃＝136－f。再由表中已知分數判斷 x₃ 是否為已知資料；若不是，x₃ 就是未知兩人中的一人，另一人的分數由總和求得。 示範（數字僅為說明用）：若已知小魚 70 分，其餘三人為 52、85、90 分。 總和：a＋b＝408－（70＋52＋85＋90）＝408－297＝111。 名次：小魚第三名，比小魚高的只能是 85、90 兩人，所以 a、b 都低於 70，x₄＝70。 中位數：x₃＝136－70＝66，已知分數中沒有 66，故未知兩人中較高者為 66，另一人為 111－66＝45。 歸屬：小明比小華高，小明 66 分、小華 45 分。 求得數值後一定要回頭排序驗證：45、52、66、70、85、90，總和 408、中央兩項平均（66＋70）÷2＝68、小魚恰為第三名、小明高於小華，全部成立。若假設的位置出現矛盾（例如算出的分數會讓小魚名次改變），就要改判排列位置。 常考陷阱 「依題目給的順序直接取中間」：錯。原始資料未必已排序，一定要先由小到大排好。 「把最高分與最低分平均，就是中位數」：錯。中位數取決於排序後的中央位置，與兩端數值的平均不同。 「偶數筆取中間偏左或偏右的一項」：錯。中央兩項都要取到，再計算平均。 「有相同分數，只算一次」：錯。每位學生都是一筆資料，重複分數仍占不同位置。 「人數最多的分數就是中位數」：錯。人數最多的分數是眾數；中位數必須由累積位置判定。 「加入較大的數，中位數一定不變」：錯。筆數由奇變偶，中位數會變成原中央值與右鄰數值的平均，例如 69 變為 69.5。 「加入較大的數，中位數往左移」：錯。加入比中位數大的數，中央往右移，選 68.5 是方向判斷錯誤。 「新中位數等於原中位數與新增數值的平均」：錯。應平均新排列的中央兩項，新增數值未必位於中央。 「平均數與中位數都是 68，所以中央兩人都考 68」：錯。只能確定中央兩項之和為 136，不能推出兩項各為 68。 「第三名就是由小到大第三個」：錯。名次由高分往低分排；六人無並列時，第三名對應由小到大第四個。 「未知兩人的總分已求出，就能各分一半」：錯。總和不能單獨決定兩個數，還須結合中位數、名次與高低條件。 記憶口訣 先排再定位，奇取一、偶平均；次數看累積，添數重找心。 平均管總和，中位管中央；名次辨方向，解完排回查。