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學習重點 理解位值表示法：在 9 × x＝10a＋b 中，x 是乘數，a、b 分別是積的十位數與個位數。 掌握九九乘法表中 9 的倍數規律：十位數比乘數少 1、兩位數字和為 9、乘數與個位數的和為 10。 能用代入、列表及算式推導，判斷規律是否對所有指定的乘數成立。 遇到多層數量情境，依序列出每層的倍數關係，再將相同因數連乘改寫成次方。 核心觀念 一、先看懂乘法算式中的符號 九九乘法表中，被乘數為 9 的算式可寫成 9 × x＝10a＋b，其中 x＝1、2、……、9，a＝0、1、……、8，b＝1、2、……、9。右邊的 10a＋b 是十進位的位值表示，意思是「a 個十加上 b 個一」，不是把 a、b 相乘。 例如 9 × 4＝36，可知 x＝4、a＝3、b＝6。當 x＝1 時，積是 9，可寫成 10 × 0＋9，所以 a＝0、b＝9；積只有一位數時，十位數視為 0，不能漏掉這個情況。 二、從列表觀察 9 的乘法規律 乘數 x積 9 × x十位數 a個位數 b 1909 21818 32727 43636 54545 65454 76363 87272 98181 由上往下觀察，乘數每增加 1，積增加 9；十位數增加 1，個位數減少 1。因此可整理出三個重要關係： a＝x－1，也就是 x＝a＋1：積的十位數比乘數少 1。 b＝10－x，也就是 x＋b＝10：乘數與積的個位數互補成 10。 a＋b＝9：積的十位數與個位數互補成 9。 這些規律也能由算式推導：9x＝10x－x＝10(x－1)＋(10－x)。因為 x 在 1 到 9 之間，x－1 正好是 0 到 8，10－x 正好是 9 到 1，符合十位數與個位數的範圍。因此 a＝x－1、b＝10－x，進而得到 a＋b＝9。 解題時要特別分清楚：「積的兩個數字相加」是 9，「乘數加個位數」則是 10。兩種敘述都會用到 b，最容易在選項中被調換。 三、數字和與整除的關係 由於 10a＋b＝9x，而 x 是自然數，所以10a＋b 一定可以被 9 整除。要判斷能否被 9 整除的是整個積，不是要求 a、b 各自都能被 9 整除。 也可以把位值式改寫成 10a＋b＝9a＋(a＋b)。其中 9a 本來就是 9 的倍數，因此 10a＋b 能否被 9 整除，取決於 a＋b 能否被 9 整除。這就是利用各位數字和判斷 9 的倍數的道理。 要注意範圍：在這裡的九九乘法表內，各位數字和恰好都是 9；但對一般的 9 的倍數而言，各位數字和不一定等於 9，也可能是 18、27 等 9 的倍數。例如 99 的數字和為 18，仍可被 9 整除。 四、多層數量：每往下一層就再乘一次 多層計數的關鍵，是辨認每個「每」所表示的倍數關係。若每一個上層單位都含有相同數量的下層單位，就把各層數量依序相乘。 以家庭、貓、老鼠、麥穗串、麥粒的層級為例，若起始有 7 戶，後續每一層都是每個上層單位對應 7 個下層單位，數量便依序如下： 計算到的層級總數的表示因數 7 的個數 家庭71 個 貓7 × 72 個 老鼠7 × 7 × 73 個 麥穗串7 × 7 × 7 × 74 個 麥粒7 × 7 × 7 × 7 × 75 個 可用單位檢查乘法是否列對：戶數 × 每戶的貓數 × 每隻貓捕捉的老鼠數 × 每隻老鼠吃的串數 × 每串的粒數＝總粒數。要求哪一層的總量，就乘到哪一層；起始戶數也必須列入。 五、相同因數連乘與次方表示 次方表示的是相同因數的連乘。在 a 的 b 次方中，a 是底數，表示重複相乘的因數；b 是指數，表示這個因數出現幾次。 例如 7 × 7 × 7 × 7 × 7 是 7 的 5 次方，底數為 7、指數為 5。若以 a 的 b 次方表示，便有 a＝7、b＝5，a－b＝2。讀題時須依題目指定的順序計算，不能把底數與指數顛倒。 題目若限定 a、b 都是大於 1 的自然數，就排除了「某數的 1 次方」這種寫法；因 7 是質數，7 的 5 次方只能以底數 7、指數 5 表示，答案唯一。 不必先算出龐大的總數才改寫成次方；先確認有幾個相同因數，就能直接寫出底數與指數，減少運算錯誤。 常考陷阱 把 x＋b 寫成 9：正確是 x＋b＝10。可立即代入 9 × 2＝18，得到 2＋8＝10，便能否定錯誤敘述。 把 x＝a＋1 看成 x＝a：十位數從 0 開始，乘數從 1 開始，所以兩者固定差 1。 混淆數字與整個數值：a＋b 是各位數字的和，10a＋b 才是積；兩式的意義不同。 把局部規律擴大到所有倍數：「各位數字和等於 9」適用於此處指定範圍，不能直接套用到所有 9 的倍數。 用一個例子就認定規律成立：一個反例足以推翻一般敘述；要確認全部成立，則應完整列表或用算式推導。 把各層數量相加：每個上層單位都對應若干下層單位，總量應連乘；相加無法反映層層累積的數量。 漏掉起始數量，或少乘最後一層：求麥粒總數時，既要包含起始戶數，也要包含每串的粒數。 把指數當成乘法次數：5 個 7 連乘，雖然只寫了 4 個乘號，仍是 7 的 5 次方；指數數的是因數個數。 把次方看成底數乘指數：7 的 5 次方不是 7 × 5，也不能交換成 5 的 7 次方。 記憶口訣 九的乘法看位數：十位比乘數少一，兩位相加得九，乘數加個位得十。 層層計數用連乘，起點終點都算清；同數連乘寫次方，底數看誰、指數數個。