代數式建立與逆推

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建立於 2026年11月10日

學習重點 先定義未知數代表的量，再把「多、少、倍、平均分段」轉成代數式，分清楚局部長度與原來總長。 遇到團體優惠，分別建立「實際人數」與「優惠後單價」，再用人數乘以單價求總收入。 將連續運算依順序列式、化簡，並同時檢查結果的數值範圍及整數限制。 把已知條件代入公式，利用逆運算或候選值比較找出未知數；遇到「最接近」，要比較差距，避免自行添加取整規則。 核心觀念 一、文字轉代數式：先找比較對象與運算範圍 建立代數式時，先問：「未知數是誰？現在描述的是整體，還是一部分？」例如身高用 x 公分表示，「比身高多 3 公分」就是 x＋3 公分。繩子平均摺成 5 段後，摺好的長度就是其中一段的長度，所以 x＋3 只是一段；要求原來的繩長，還必須乘以 5。 設原繩長為 L 公分，則可先寫出 L÷5＝x＋3，再得到 L＝5(x＋3)＝5x＋15。括號表示「一整段的長度」，還原總長時，括號內的每一項都要乘以段數。 文字關係代數表示判斷關鍵 比 x 多 ax＋a以 x 為基準增加 a 比 x 少 ax－a以 x 為基準減少 a x 的 k 倍再加 akx＋a先乘，再加 x 加 a 後的 k 倍k(x＋a)先加，再將整體乘以 k 列式後可用文字反向檢查：把總長除以段數，是否恰好比身高多出指定長度？例如 (5x＋15)÷5＝x＋3，正好比身高多 3 公分；若用 5x＋3 檢查，除以 5 後只多 0.6 公分，就能發現錯誤。 二、收費情境：總收入＝實際人數×實際單價 設超過原定 30 人的部分為 x 人，則x 是增加的人數，總人數為 30＋x。原本每人收費 5000 元，每增加 1 人，每人便宜 100 元，因此增加 x 人時，每人共便宜 100x 元，實際單價為 5000－100x 元。 所以總收入為(30＋x)(5000－100x) 元。若需要展開，可寫成 150000＋2000x－100x²。作答時，乘積形式已能清楚表達人數與單價的關係，除非要求化簡，否則不必急著展開。 這類優惠的關鍵是「每人」：折扣適用於全部參加者，原有的 30 人也會享有優惠。不能把原有旅客與新增旅客分別套用不同單價。 人數必須符合情境，因此 x 為非負整數。若另要求單價為正，則須有 5000－100x＞0；但題目若只要求列出收入式，不必自行增加未交代的成團上限或營運條件。 三、連續運算：化簡後仍要保留原數限制 設原數為 n，將它乘以 10，再減去「此幸運數」，意思是減去原來的 n，所以結果為 10n－n＝9n。這裡不是減去固定的 10，也不是將乘以 10 後的結果減去它自己。 原數若為 10 到 99 的整數，則 10≤n≤99，計算結果 R＝9n 必須滿足90≤R≤891，且 R 是 9 的倍數。兩個條件缺一不可。 判斷某個結果能否出現，最直接的方法是逆推 n＝R÷9，檢查商是否為 10 到 99 的整數。例如 81 雖然是 9 的倍數，但逆推得到 9，超出原數的允許範圍，因此不能出現；90、117、477 分別可逆推為 10、13、53，均符合限制。 範圍檢查只能排除過大或過小的數，整除檢查則用來排除範圍內不符合運算結構的數。只做其中一種檢查，容易漏掉限制。 四、代入與逆推：先固定已知量，再處理未知量 若計算金額的公式為 1000＋400×交情等級＋250×餐廳星級，可用 g 表示交情等級、s 表示餐廳星級，寫成 M＝1000＋400g＋250s。其中 g 只能取 1、2、3、4，s 只能取 1、2、3、4、5。 已知餐廳為 4 星級，就先代入 s＝4，得到 M＝1000＋1000＋400g＝2000＋400g。若以 3600 元為目標，可先逆推 g＝(3600－2000)÷400＝4，再檢查 4 是否在允許的等級內。 也可以將全部候選等級代入，以差距比較確認： 交情等級 g公式計算值與 3600 元的差距 12400 元1200 元 22800 元800 元 33200 元400 元 43600 元0 元 等級 4 的公式值恰與目標相等，差距為 0，因此可確定符合題意。「最接近」通常要比較差距大小，不能一律當成完全相等；本例能直接逆推，是因為候選值中確實存在完全相等的結果。題目未提供吉利數字的完整清單或取整方式時，不應自行假設一律四捨五入到百位、千位。 常考陷阱 把整段的倍數寫成只乘未知數：5(x＋3) 應為 5x＋15；寫成 5x＋3，代表只在總長上加一次 3，與每一段都比身高多 3 的關係不同。 正負號方向弄反：「摺後比身高多 3」是一段＝x＋3；寫成 5x－3 或 5x－15，等於把「多」看成「少」。 看到摺疊就直接用身高乘段數：必須先求摺後一段的實際長度，再還原總長，不能忽略多出的長度。 把增加人數當成總人數：x 若代表新增人數，收入式的人數因數應為 30＋x，不能直接寫 x。 只替新增旅客打折：寫成 30×5000＋x(5000－100x)，會漏掉原有旅客也享有的折扣。應讓全部人數乘以同一個優惠後單價。 把每人折扣當成總折扣：寫成 5000(30＋x)－100x，只扣掉一次 100x；實際上每位旅客都要減少 100x 元。 只看是不是 9 的倍數：仍須確認逆推的原數在指定範圍內；反過來，結果落在上下限之間，也不代表一定可能。選項中「是 9 的倍數但小於 90」的數，正是最容易誤選的陷阱。 代入時交換兩種等級：400 乘交情等級，250 乘餐廳星級，不能因兩者都稱為等級就互換係數。 代入後漏加常數項：公式開頭的 1000 元要記得加上，否則逆推會得出錯誤等級。 逆推後不驗算：求出的值須符合整數、等級或人數限制，並代回原式確認結果。若題目要求最接近，還要檢查候選值的差距。 記憶口訣 分段先求段，還原整段乘；人數乘單價，折扣看每人；連算先化簡，範圍整數驗；已知先代入，逆推再驗算。