全等圖形與移動翻轉

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建立於 2026年11月10日

學習重點 掌握全等的判準：兩圖形經平移、旋轉或翻轉後，能完全重合，表示形狀與大小都相同。 能以成對圖示及操作說明表達全等，並標明哪些部分可以互相對應。 分清線對稱是單一圖形的性質，全等是兩個圖形之間的關係，並能寫出兩者的相異處。 能設計位置、方向與鏡像不同的全等圖例，澄清「只有平移後重合才是全等」的迷思。 核心觀念 一、全等的意義：形狀相同，大小也相同 兩個圖形若能透過平移、旋轉、翻轉，或這些操作的組合而完全重合，就稱為全等圖形。「完全重合」指整個圖形都能對上，不是只讓某一條邊、某一個角或部分區域重疊。 這些操作都不會改變圖形的形狀與大小。因此，判斷全等時，可以改變位置、轉動方向，也可以將紙片翻面；但不能拉長、壓扁、放大、縮小，或剪開後重新拼湊，再據此宣稱原來兩圖形全等。 對全等的多邊形而言，配對後的對應頂點、對應邊、對應角可一一找出，且對應邊等長、對應角相等。對應位置要依圖形的移動方式判斷，不能直接認定紙面上同在左上方的頂點就是對應頂點。 依十二年國教數學領綱，圖形全等的概念與性質在國小四年級正式介紹，學習方式以實際操作（描圖、剪下疊合）為主。 二、如何用圖示說明全等 申論作答宜包含一對圖形、操作方式、重合結論。只寫「形狀與大小相同」雖然說出定義，仍未充分回應「用圖示說明」的要求。 下表以等大的方格作示意：每個■都是同樣大小的正方形，■的聯集才是要比較的圖形；□只是背景定位格，不屬於圖形。 原圖甲圖乙圖丙圖丁 ■□□■□□■■□ □■□□■□□■■ ■■■■□□□□□ □□■□□■□■■ 比較的基準圖形 甲向右平移一格 甲順時針旋轉90° 甲左右翻轉 甲與乙、丙、丁都全等。作答時可選其中一組，畫出圖形並註明：「將甲平移（或旋轉、翻轉）後，可與另一圖形完全重合，因此兩圖形全等。」若使用三角形，也應畫出形狀、大小一致而方向不同的一對三角形，並標示對應頂點（如A對應D、B對應E、C對應F）或對應邊長，避免圖畫得不像而使判準不明。 三、平移、旋轉與翻轉的差別 操作操作特徵判斷重點 平移沿一定方向移動一定距離，不轉動、不翻面。圖形各點移動的方向與距離相同。 旋轉繞某一點轉動一定角度。方向可能改變，形狀與大小保持不變。 翻轉將圖形翻面，形成鏡像的配置。即使不能只靠平移、旋轉重合，翻面後能重合仍算全等。 判斷全等不必限定只能做一次操作。例如先旋轉再平移，或先翻轉再旋轉，都可以。操作的目的在於檢查是否能完全重合，不是限制圖形原來必須朝向相同。 四、線對稱與全等：性質與關係的區別 線對稱圖形是指一個圖形沿某條直線對摺後，摺線兩側的部分能完全重合；這條直線就是對稱軸。重點是同一圖形內部，是否存在符合條件的對摺方式。 全等圖形則是在比較兩個圖形，只要形狀與大小完全相同，經適當移動或翻轉可完全重合即可，不要求任一圖形本身具有對稱軸。 比較項目線對稱全等 描述對象一個圖形的性質。兩個圖形之間的關係。 判斷方式沿對稱軸對摺，兩側完全重合。經平移、旋轉或翻轉後完全重合。 允許的操作只能沿特定直線對摺。平移、旋轉、翻轉皆可，也可組合。 是否需要對稱軸需要至少一條對稱軸。不需要。 兩者也有關聯：線對稱圖形沿對稱軸分成的兩半，彼此是全等的（互為鏡像）。但反過來不成立：兩片形狀與大小相同的不等邊三角形可以全等，但每片都沒有對稱軸；兩個大小不同的正方形各自都是線對稱圖形，彼此卻不全等。因此，不能由「都是線對稱圖形」推出「兩圖形全等」，也不能由「兩圖形全等」推出「各自都是線對稱圖形」。 若要求寫出一項相異處，任選一項並把兩邊都講清楚即可，例如： 「線對稱描述一個圖形沿對稱軸對摺可重合的性質；全等描述兩個圖形形狀與大小相同的關係。」 「線對稱圖形必須有對稱軸；全等圖形不需要有對稱軸。」 「線對稱只能以對摺（翻轉）檢驗；全等可用平移、旋轉、翻轉檢驗。」 比較基準一致，答案才明確。 五、全等概念的教學：用變式建立完整判準 若教材總是把同樣朝向的圖形左右並排，學生容易把「全等」誤認為「只要平移就能重合」。教學應安排不同操作需求，讓學生辨認真正不變的是形狀與大小。 提供旋轉的正例：將同一圖形轉向後呈現，使學生透過轉動紙片確認重合，理解方向不同仍可全等。 提供翻轉的正例：選用不具線對稱性、不能只靠平移與旋轉重合的圖形及其鏡像，例如上表的甲與丁，要求學生實際翻面比對。 改變擺放位置：將圖形分開、上下配置或斜向擺放，避免學生把固定位置與全等綁在一起。 搭配反例辨析：呈現同形但大小不同、局部邊角相同但整體不同的圖形，要求學生說明無法完全重合的原因。 結合操作與語言：利用描圖紙或剪下的紙片，讓學生說出「做了什麼操作」及「為何能判定全等」，再整理成定義，並找出對應頂點、對應邊、對應角。 需要提出多種教學注意事項時，應寫出不同的設計重點。僅把同一圖形移到左邊、右邊或上方，仍都只是平移變化，無法有效處理學生對旋轉與翻轉的排斥。 常考陷阱 「方向不同，所以不全等」：方向不是判準；先檢查旋轉或翻轉後是否能完全重合。 「鏡像圖形一定不全等」：翻轉也是允許的操作，鏡像仍可與原圖全等。 「只要形狀一樣就全等」：還必須大小相同，放大或縮小後的圖形不能直接判為全等。 「面積相等就全等」：面積只表示占有平面的量，不能保證形狀相同；周長相等也不足以判定全等。 「有幾條邊或幾個角相同就全等」：零散的局部條件未必足夠，應回到整體能否完全重合的判準。 「全等圖形一定是線對稱圖形」或「都是線對稱圖形就全等」：一個講兩圖關係、一個講單圖性質，彼此不能互推。 「沿一條線分成兩塊全等部分，就一定線對稱」：還要確認沿該線對摺後能重合；只知道兩塊全等，不能直接認定該線是對稱軸。 「用對稱圖形就能示範翻轉的必要性」：若翻面後也能直接平移或旋轉重合，學生不易察覺翻轉的作用，宜選具有明顯鏡像差異的圖例。 只寫定義、沒有畫圖：題目要求「用圖示說明」時，須畫出一對圖形並註明操作方式與重合結論。 記憶口訣 全等看形與大小，平移轉動翻面找；線對稱沿軸摺，兩側重合才算好。 一圖對稱講性質，兩圖全等講關係。