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學習重點 掌握函數的唯一對應原則：指定範圍內的每一個輸入值，都必須恰好對應一個輸出值。 看懂「y 是 x 的函數」的方向：由 x 決定 y，判斷時要固定 x，檢查 y 是否唯一。 能從生活情境、對應表與坐標圖形判斷函數，並熟用垂直線測試法。 依資料的性質與教學目的選圖；呈現兩變量的對應規律時，應使用適切的函數關係圖。 核心觀念 一、函數的定義：每個輸入都有唯一輸出 若在指定範圍內，每一個 x 都恰好對應一個 y，就稱y 是 x 的函數。其中，x 是輸入，y 是輸出；所有允許輸入的 x 所形成的集合稱為定義域，實際對應得到的 y 所形成的集合稱為值域。 判斷函數要同時注意「每一個」與「恰好一個」：定義域中的元素不能沒有對應值，也不能同時對應兩個以上不同的值。至於不同的 x 是否得到相同的 y，並不影響函數成立。 對應情形是否符合函數定義判斷關鍵 一對一符合每個輸入各自得到唯一輸出。 多對一可以符合不同輸入可以得到相同輸出，但仍須檢查所有輸入都有唯一輸出。 一對多不符合同一輸入得到不同輸出，違反唯一性。 定義域中某個輸入沒有輸出不符合沒有滿足每個輸入都必須有對應值的要求。 例如，輸入 1、2、3 都得到輸出 5，仍可構成函數；若輸入 2 時，輸出可能是 5，也可能是 8，就不是函數。函數要求的是輸出由輸入唯一決定，不要求輸出彼此不同。 二、函數有方向：由誰決定誰 「y 是 x 的函數」表示給定 x，就能唯一確定 y；「x 是 y 的函數」則表示給定 y，就能唯一確定 x。兩句話的輸入與輸出交換，必須分別判斷，不能直接認定同時成立。 以同一月份內的「日期」與「星期」為例：設 x 日是星期 y，x 可取 1～30。給定某一天的日期，就能確定當天是星期幾，因此y 是 x 的函數。但是 30 天中每個星期幾都會出現 4 次或 5 次，只知道星期幾，無法唯一確定是哪一天，因此x 不是 y 的函數。 這類情境的重點是能否唯一決定，不必先算出每一天實際是星期幾。日期對星期是多對一；把方向反過來，星期對日期就出現一對多。也要注意題目限定的範圍，例如「同一月份」能讓日期的意義明確。 三、從對應表判斷：同一個 x 是否出現不同的 y 閱讀表格時，先確認哪一欄或哪一列是 x，再把相同 x 的資料放在一起比較。若同一個 x 對應兩個不同的 y，就能判定 y 不是 x 的函數；若每個列出的 x 都只有唯一的 y，則這些資料符合函數的唯一對應要求。 x 不同、y 相同：允許，例如不同輸入都得到 6。 x 相同、y 不同：不允許，這是判斷非函數最直接的依據。 x 相同、y 也相同：只是同一組對應重複列出，不會因此變成一對多。 若題目另外指定完整定義域，還要確認其中每個元素都有對應值；不能僅因表格中已列出的資料沒有衝突，就忽略指定輸入可能缺少輸出的情形。 作答時可逐一掃描各選項的 x 列：只要找到「同一個 x 底下出現兩個不同 y」的那一組，就是「y 不是 x 的函數」的答案；其餘只有 y 重複的組別都仍是函數。 四、從圖形判斷：垂直線測試法 在直角坐標平面上，同一條垂直線上的點具有相同的 x 坐標。因此，判斷「y 是否為 x 的函數」，可以想像用垂直線由左向右掃過圖形：任一條垂直線與圖形至多交於一點，圖形才符合每個 x 至多只有一個 y 的要求。 若某條垂直線與圖形交於兩點以上，就表示同一個 x 對應不同的 y，不能構成 y 是 x 的函數。垂直線沒有碰到圖形，通常表示該 x 不在圖形所代表的定義域內；若題目另有指定定義域，仍須檢查該範圍是否每個 x 都有對應點。 直線類型能否表示 y 是 x 的函數理由 斜直線可以不論向右上或向右下傾斜，每個 x 都只對應一個 y。 水平直線 y＝b可以不同 x 都對應同一個 b，屬於常數函數。 垂直直線 x＝a不可以同一個 a 對應許多不同的 y，垂直線測試時會與圖形重合、交於無限多點。 因此判斷數條直線時，只要把垂直於 x 軸的那一條排除，其餘斜直線與水平直線都表示 y 是 x 的函數。 圖形不必是直線，也不必連續，才有資格表示函數。曲線或一組分離的點，只要符合唯一對應原則，也可能是函數圖形。 五、函數關係的圖像表徵：讓兩個量的對應看得見 選擇圖示前，先確認希望學生討論什麼。若重點是「一個量改變時，另一個量如何跟著改變」，就應讓兩個變量同時出現在坐標平面上，以函數關係圖呈現有序數對與對應規律。 例如，每枚硬幣面額固定為 5 元，令 x 表示硬幣個數、y 表示總金額，便有y＝5x。每增加一枚，總金額增加 5 元；給定個數，就能唯一決定總金額。以個數為橫軸、金額為縱軸，可呈現兩者的函數關係。 硬幣個數只能取非負整數，實際允許的範圍還要依題意決定。因此，圖上應以符合情境的離散點表示；即使這些點落在同一直線上，也不能據此認為半枚硬幣等輸入同樣有意義。 圖示主要用途與判斷重點 長條圖比較不同類別的數量或大小。 折線圖常用來呈現依時間或順序變化的趨勢；連線須符合資料意義。 圓形圖呈現各部分占整體的比例。 函數關係圖呈現輸入與輸出的對應，便於討論兩變量的規律。 硬幣個數與總金額不是「類別比較」，也不是「部分占整體」，更不是隨時間變化的統計資料，而是兩個變量之間的固定對應規則，因此最適切的是函數關係圖。 常考陷阱 「不同 x 對應相同 y，所以不是函數。」錯在把多對一當成一對多。要固定同一個 x，檢查它是否對應不同的 y。 「y 是 x 的函數，所以 x 也是 y 的函數。」交換方向後必須重新判斷；原來的多對一，反向就會成為一對多。日期決定星期成立，星期決定日期不成立。 「表格中 x 重複出現，就不是函數。」重複本身不是問題，必須看對應的 y 是否不同。 「所有直線都能表示 y 是 x 的函數。」垂直直線不符合；水平直線則可以，因為固定輸出仍是唯一輸出。 「水平直線不是函數。」常數函數仍是函數，不要把水平線和垂直線混淆。 「用水平線測試 y 是否為 x 的函數。」方向用錯。判斷 y 是否由 x 唯一決定，應使用垂直線。 「垂直線一定要與圖形交於一點。」測試的說法是至多一點；定義域以外的垂直線可以沒有交點。 「資料點排成直線，就全部連起來。」先檢查輸入能否取中間值。計數情境常只有整數輸入，應保留離散點的意義。 「只要有數量資料，就選長條圖或折線圖。」選圖須配合目的；要討論個數與金額的對應規律，函數關係圖更切合重點。 記憶口訣 固定輸入看輸出，一個不能有兩路；多個輸入同結果，仍可符合函數。 判 y 隨 x，直線垂直掃；水平可以，垂直不行。