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學習重點 掌握切線的基本性質：圓心到切線的垂直距離等於半徑，切點半徑垂直切線。 能將圓的一般式配方為標準式，正確讀出圓心與半徑，再運用點到直線的距離公式。 分辨兩圓外切、內切與公切線，利用圓心距、半徑和或半徑差建立直角三角形。 將四分之一圓的相切關係轉為圓心距，結合正方形對角線求邊長與面積。 利用弦的中垂線定位圓心，並以坐標軸相切條件及畢氏定理求出圓心坐標。 核心觀念 一、切線判定：圓心到直線的距離等於半徑 設圓心為 O(h,k)、半徑為 r，直線為 Ax＋By＋C＝0，則圓心到直線的距離為d＝|Ah＋Bk＋C|／√(A²＋B²)。比較 d 與 r，即可判斷直線與圓的位置關係。 距離條件位置關係交點個數 d＞r直線與圓相離0 個 d＝r直線與圓相切1 個 d＜r直線與圓相割2 個 遇到圓的一般式，先配方。例如 x²＋y²－4ax＋2ay＝0，可整理為(x－2a)²＋(y＋a)²＝5a²，因此圓心為 (2a,－a)，半徑為 √5|a|，且真正的圓須有 a≠0。 若切線為 2x－y－20＝0，將圓心代入距離公式，分子為 |2(2a)－(－a)－20|＝|5a－20|，可得 |5a－20|／√5＝√5|a|，即 |5a－20|＝5|a|，也就是 |a－4|＝|a|。兩邊平方後為 (a－4)²＝a²，化簡得 －8a＋16＝0，所以a＝2。重點是半徑取非負值，√(a²)＝|a|，不能未經判斷就寫成 a。 驗算：a＝2 時圓心 (4,－2)、半徑 2√5，圓心到直線距離為 |8＋2－20|／√5＝10／√5＝2√5，恰等於半徑。若取 a＝4，圓心 (8,－4) 會落在直線上（距離為 0），是相割而非相切。 二、通過指定點求切線斜率 已知直線通過 P(x₀,y₀)，且斜率為 m，可設 y－y₀＝m(x－x₀)，再整理成 mx－y＋y₀－mx₀＝0。接著令圓心到直線的距離等於半徑，便能求 m。 例如圓 (x－2)²＋y²＝25，圓心為 (2,0)、半徑為 5，通過 (9,5) 的直線可設為 mx－y＋5－9m＝0。相切條件為 |5－7m|／√(m²＋1)＝5，平方整理得 25－70m＋49m²＝25m²＋25，即m(24m－70)＝0，所以 m＝0 或 35／12。 其中 m＝0 對應水平切線 y＝5，恰好通過圓的最高點 (2,5)，可直接由圖形判斷。這也提醒我們：圓外一點通常可以引出兩條切線。若選項只列出其中一個可行值，應選符合條件的選項，不能據此認定另一條切線不存在。 此外，用斜率設直線時，須另行檢查鉛直線 x＝x₀，因為鉛直線沒有斜率，無法包含在上述設式中。以本例而言，x＝9 與圓心距離為 7，大於半徑 5，不是切線。 三、兩圓相切與外公切線段 設兩圓半徑為 R、r，且 R≥r＞0，圓心距為 d。兩圓外切時 d＝R＋r；兩圓內切且為不同圓時，d＝R－r。相切條件描述的是圓心距，不是切線段長。 兩圓的外公切線使兩圓心位於直線同側。連接兩個切點的線段長記為 L，由於兩條切點半徑都垂直公切線，可構成斜邊為 d、一股為 R－r、另一股為 L 的直角三角形。因此L＝√[d²－(R－r)²]。 若兩圓外切，代入 d＝R＋r，可進一步得到 L²＝(R＋r)²－(R－r)²＝4Rr，因此L＝2√(Rr)。例如半徑為 3 與 5，圓心距是 8，而外公切線段長為 √(8²－2²)＝√60＝2√15，也可直接以 2√(3×5)＝2√15 驗證。 公切線種類兩圓心的位置切線段公式 外公切線在公切線同側√[d²－(R－r)²] 內公切線在公切線異側√[d²－(R＋r)²] 內公切線段具有正長度須 d＞R＋r；兩圓外切時，兩切點重合，對應長度為 0。 四、四分之一圓相切與正方形面積 四分之一圓雖然只畫出部分圓弧，仍應先找出其所屬圓的圓心。圓心在兩條半徑的交會處，不能把弧的中間位置當成圓心。 若兩個四分之一圓分別以正方形的相對頂點為圓心，且兩弧外切，切點落在兩圓心連線上，兩圓心距就是半徑和，也就是正方形的對角線長。設正方形邊長為 s、對角線為 D，則 D²＝2s²，因此面積 s²＝D²／2。 例如兩圓半徑都是 1，則 D＝1＋1＝2，邊長 s＝√2，正方形面積為 2²／2＝2。解題順序是「找圓心→用相切求圓心距→確認圓心連線是對角線→求面積」。這項推論以圓心位於相對頂點為前提，須依圖確認。 五、坐標軸相切、弦中點與弦心距 圓心為 (a,b)、半徑為 r 時，與 x 軸相切表示r＝|b|；與 y 軸相切表示r＝|a|。坐標可能為負，距離與半徑則不能為負。 已知圓與 x 軸交於兩點，這兩點構成一條水平弦。圓心必在弦的中垂線上，因此圓心的橫坐標等於兩交點橫坐標的平均數。 例如交點為 (－6,0)、(－2,0)，弦中點是 (－4,0)，所以 a＝－4。若圓又與 y 軸相切，半徑便是 |－4|＝4。半弦長為 (－2－(－6))／2＝2，圓心到弦的距離為 |b|，由畢氏定理得b²＋2²＝4²，所以 b²＝12，b＝±2√3。 因此 a＋b 可能為－4＋2√3 或－4－2√3。必須依圖中圓心位於 x 軸上方或下方決定正負；僅憑交點與相切文字條件，不能排除上下對稱的另一個圓。 常考陷阱 圓心坐標直接照抄一次項係數：配方後才讀圓心；x²－4ax 對應 (x－2a)²，(y＋a)² 對應的縱坐標是－a。 半徑忘記加絕對值：√(5a²)＝√5|a|；把絕對值處理好才能得到唯一解。 令距離公式分子為 0：分子為 0 代表圓心在直線上，是相割；相切是「距離等於半徑」，不是「距離等於 0」。 點到直線距離漏掉絕對值或分母：分母是 √(A²＋B²)，分子整體取絕對值。 認為切線斜率不能是 0：水平線可以是切線；先觀察最高點、最低點，常能快速判斷。 認為圓外一點只有一條切線：應保留所有符合條件的解，並檢查斜率設式未涵蓋的鉛直線。 外切就把所有長度都寫成半徑和：半徑和等於圓心距；外公切線段仍須以畢氏定理求得。 外公切線公式誤用半徑和或忘記開根號：兩圓心在切線同側，垂直方向的高度差是 R－r；算出 L²＝60 後要開根號並化簡為 2√15。 把正方形對角線當成邊長，或把邊長當面積：對角線為 D 時，邊長是 D／√2、面積是 D²／2；要分清題目問邊長還是面積。 弦心距計算用整條弦：直角三角形的一股是半弦長，另一股是弦心距，斜邊才是半徑。 開平方只保留正根：圓心坐標可以為負；上下位置須依圖或其他條件判定。 記憶口訣 切線看垂距，等於半徑值；外切用半徑和，外公切線用半徑差。 弦中垂線找圓心，半弦配弦心；對角平方除以二，就是正方形面積。