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學習重點 辨認列聯表：同一批觀察對象依兩個類別變數交叉分類，表內記錄各種分類組合的次數。 區分表格形式與資料意義：有橫列、直欄的二維表格，不一定是列聯表；必須檢查分類方式及格內數值的意義。 挑選適合的原始資料：能讓每個對象同時歸入兩個分類、再計數的資料，才適合用來教列聯表。 讀懂雙屬性資料：能計算各屬性的總人數，區分「同時符合」與「只符合其中一項」。 判斷敘述真偽：將「比……多」、「都」、「有同學」、「同時不喜歡」轉成加總、比較或特定格子的條件。 核心觀念 一、列聯表呈現兩個類別變數的交叉次數 列聯表是把同一批觀察對象，依照兩個類別（質性）變數交叉分類後，呈現各種組合出現次數的統計表。判別時要同時掌握三個要素：同一批對象、兩個分類變數、交叉次數。只有一個分類變數的表，只能算一維的次數分配表，不是列聯表。 例如以學生為觀察對象，「年級」是一個分類變數，「是否近視」是另一個分類變數。每位學生都有所屬年級，也都能歸入近視或沒有近視的類別，因此可以統計「各年級中，近視與沒有近視各有多少人」。 兩個變數分別安排在橫列與直欄，列標題與欄標題都是類別名稱；每個內部格子表示同時符合該列、該欄條件的次數。每個對象只會落在一個內部格子，所以內部格子全部相加等於總人數；表的右側與下方常附「合計」，分別是各列、各欄的人數總和。交換兩個變數的擺放方向，仍然是列聯表，資料意義不會因此改變。 類別變數不一定以文字呈現。像年級雖然使用數字標示，在這裡是用來分類學生；判斷重點是資料在表中的用途，不能只看是否出現數字。 十二年國教數學領域課綱在「二維表格」的學習內容中，可以列聯表作為例子，因此教檢常要求從幾個二維表格中挑出列聯表。 二、二維表格不一定是列聯表 「二維表格」描述資料以橫列、直欄排列的形式；「列聯表」還要求內容是兩個類別變數的交叉次數。選擇適合列聯表教學的原始資料時，應先確認能否把每個觀察對象同時歸入兩個分類，再計算各組合的數量。 資料形式格內內容判別關鍵 各年級近視與沒有近視的人數各分類組合的人數以年級及近視情形交叉分類，符合列聯表的意義。 每週上課課表各時段安排的科目主要呈現課程安排，格內是文字資訊，不是交叉分類的次數。 各品項銷售金額表各品項的金額金額是測量或加總的量，不是分類次數；且只有「品項」一個分類。 學生各科成績表各學生的分數格內記錄分數，並非兩個類別組合的人數。 因此，不能因為表格同時出現「學生與科目」或「星期與節次」，就認定是列聯表。最有效的檢查方式是問：這一格是在數「同時符合兩個分類條件的對象有幾個」嗎？格內若是分數、金額、平均數、科目名稱，就不是列聯表。 三、雙屬性調查表可以整理成四種組合 調查寫作、閱讀兩種喜好時，每位學生都具有兩個屬性：是否喜歡寫作，以及是否喜歡閱讀。若各屬性只有「喜歡、不喜歡」兩種結果，可整理成下表。以下以字母代表人數，並非特定調查的實際數據。 寫作喜好／閱讀喜好喜歡閱讀不喜歡閱讀合計 喜歡寫作aba＋b 不喜歡寫作cdc＋d 合計a＋cb＋da＋b＋c＋d 其中，a 是兩者都喜歡的人數；b 是喜歡寫作但不喜歡閱讀的人數；c 是不喜歡寫作但喜歡閱讀的人數；d 是兩者都不喜歡的人數。四個內部格子互不重複，合計就是全班人數。 如果原始資料是逐位學生列出喜好符號，要先看清楚圖例（哪個符號表示喜歡、哪個表示不喜歡），再將每位學生歸入四種組合之一。一位學生只計入一個組合，不能把符號數量直接當成學生人數。建議先畫出上面的四格表、填好人數，再逐一判斷敘述。 四、把文字敘述轉成計數條件 敘述用語對應條件判讀方式 不喜歡寫作的人比不喜歡閱讀的人多c＋d 大於 b＋d比較兩個「不喜歡」的總人數；因 d 共用，等同比較 c 是否大於 b。 喜歡寫作的人都不喜歡閱讀a＝0喜歡寫作的人全部落在「不喜歡閱讀」那一格，不能出現任何同時喜歡兩者的人。 有同學同時喜歡寫作與閱讀a 大於 0只要找到一位符合者，敘述就成立。 同時不喜歡寫作與閱讀的人數d只數兩者都不喜歡的那一格，再與敘述中的數字核對。 「都」是全體性的敘述，只要出現一個反例就不成立；「有同學」則只需要至少一個符合者。因此，「喜歡寫作的人都不喜歡閱讀」與「有人同時喜歡兩者」互相矛盾，必定一對一錯，選項中不可能兩者同時正確。 包含關係也要看清方向。「喜歡寫作的人都不喜歡閱讀」表示，喜歡寫作的學生全部包含在不喜歡閱讀這一群中；不能反過來推論「不喜歡閱讀的人都喜歡寫作」，因為其中仍可能有人兩者都不喜歡。 常考陷阱 看到表格就選列聯表：課表、成績表與金額表都可能具有橫列和直欄。必須進一步確認格內是不是兩個類別交叉後的次數。 把數值資料直接當成次數：分數高低、銷售金額大小，與「有多少人、出現多少次」不同；判斷時先讀欄位名稱與單位。 只有一個分類也當成列聯表：只按品項或只按年級統計，是一維資料；列聯表必須同時有兩個分類變數。 只數單一格來比較總人數：「不喜歡寫作」包含喜歡閱讀與不喜歡閱讀兩群，應計算 c＋d；「不喜歡閱讀」應計算 b＋d。 把「同時」看成「其中之一」：同時不喜歡兩者，只計 d；若把 c、b 也算進去，就混入只不喜歡其中一項的人。 把兩個不喜歡的總數直接相加：相加時，兩者都不喜歡的人會被計算兩次。若要求至少不喜歡其中一項，人數應為 b＋c＋d。 用多數支持「都」：即使絕大多數喜歡寫作的人不喜歡閱讀，只要有人兩者都喜歡，「都不喜歡閱讀」仍是錯的。 「都」與「有」同時選：「喜歡寫作的都不喜歡閱讀」與「有人同時喜歡兩者」互斥，包含這兩句同時正確的選項必錯，可先刪除。 把包含關係倒過來：某一群全部落在另一群中，不代表兩群完全相同，也不能直接交換敘述方向。 憑整體印象判斷指定人數：「兩者都不喜歡有若干人」必須逐一核對對應組合，不能拿單一屬性的合計代替，也不能由其他敘述猜出人數。 記憶口訣 「兩類交叉，格內數次；單項看合計，同時看交集。」 「有，找到一個；都，不能有反例。」先把文字轉成條件，再回表中計數，就能避免被敘述方式誤導。