阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 利用學童已知的長方形面積公式，透過「剪開、平移、重組」推導平行四邊形面積為底×高。 掌握面積守恆：同一張紙卡分割後，只要全部使用、沒有重疊也沒有空隙，重組前後的面積就相等。 判斷剪一刀能否拼成長方形的關鍵是：切線必須垂直於一組平行的對邊，而且兩端都落在這組對邊上。切線不一定要通過頂點。 能用直角、平行、垂直以及鄰角互補，說明拼成的圖形為何是長方形，不能只憑外觀判斷。 能用引導問話串起「怎麼剪」「怎麼確定是長方形」「長寬對應底高」「推出公式」等步驟。 核心觀念 一、教學起點：把未知圖形轉成已知圖形 學童已知道長方形面積等於長×寬。教師可讓學童把平行四邊形紙卡剪開，再拼成長方形。教學目的不只是完成拼圖，而是讓學童理解：形狀可以改變，面積可以維持不變，所以能借用長方形的面積公式，求出原平行四邊形的面積。 完整的推理包含三件事： 重組前後面積相等。 重組結果確實是長方形。 長方形的長與寬分別對應原圖的底與高。 若只展示剪貼結果就直接宣布公式，學童容易記住操作步驟，卻不理解公式的由來。 二、面積守恆：不增不減、不重疊、不留空 剪開只是把原圖分成幾個部分，並沒有增加或減少紙張。把各部分平移到新位置，每一部分的面積也不會改變。因此，只要各部分全部使用一次，且沒有重疊、沒有空隙，新圖形的面積就和原圖相等。 這就是等積變形的依據。「等積」只表示面積相等，不表示形狀相同，也不表示周長相等。剪移後，原本的外邊可能變成內部接縫，切口也可能變成外框，所以剪移後周長通常會改變。 三、怎麼剪：垂直於一組對邊，從這一邊剪到對邊 平行四邊形有兩組平行的對邊。先選定其中一組，沿著與這組對邊垂直的線剪一刀，而且這條切線必須從其中一邊剪到它的對邊（兩端都落在這組平行邊上）。剪開後，把其中一塊沿著底邊方向平移到另一端，讓原本的兩條斜邊貼合，就能拼成長方形。 切線位置剪出的兩塊能否拼成長方形 從頂點向對邊作垂線（垂足落在對邊上）直角三角形＋直角梯形可以 在兩條對邊之間、不經過頂點的垂直線段兩塊直角梯形可以 切線不垂直於對邊（例如沿對角線或任意斜線）兩塊沒有直角或直角不足的圖形不行，外框會留下斜邊或非直角 垂直於某邊，但另一端落在相鄰邊上，或垂足落在對邊延長線上切線沒有貫穿兩條平行邊不行，平移後無法補齊 能貼合的理由是：平行四邊形兩條斜邊等長且平行，平移後可以完全重合。切線垂直於對邊，使切口成為新長方形的左右兩邊。 判斷關鍵是「是否垂直」與「是否貫穿兩條平行邊」，不是有沒有剪出三角形，也不是有沒有經過頂點。 四、怎麼確定拼出來的是長方形 回答「看起來像長方形」不足以構成理由。長方形的判定關鍵是四個角都是直角，可以分三點說明： 左右兩邊與上下邊垂直：新圖形的左右兩邊都是切口（或切口平移後的位置）。切線垂直於底，平移不改變角度，所以這兩邊都與上下邊垂直，形成四個直角。 上下邊是直線，沒有折角：平行四邊形的鄰角互補，相加為 180°。兩塊紙片在斜邊處拼接時，接縫兩側的角合起來是 180°（平角），所以拼接處的底邊與上邊各自連成一直線。 斜邊完全貼合：兩條斜邊等長且平行，所以拼接處沒有空隙、沒有突出。 操作上，學童可以用三角板或直角模型檢查四個角，再配合說明：「上下兩邊平行，左右兩邊都垂直於上下邊，所以四個角都是直角。」教師應引導學童指出具體的邊與角，而不是只說「因為剪得很直」或「因為對邊一樣長」。 五、從對應關係推導底×高 重組後，長方形的長等於原平行四邊形的底（底被切成兩段，平移後重新接成原長度）；寬等於切線長，也就是原平行四邊形的高。由面積守恆可得： 平行四邊形面積＝重組後長方形面積＝長×寬＝底×高。 名稱意義與判斷方式 底選定的一條邊；平行四邊形可以選不同的邊作為底。 高所選底邊與其對邊之間的垂直距離，必須和該底配對。 斜邊不垂直於底的邊，長度大於高，不能當作高。 更換底邊時，也必須更換對應的高。圖形即使旋轉，底與高的垂直關係仍然成立；不能把畫面上的水平邊固定當底，或把直立的長度一律當高。 六、引導問話的功能分工 引導問話期待學童說出的重點 你要怎麼剪才能拼出一個長方形？沿著與底（一組對邊）垂直的線剪，從一邊剪到對邊；再把剪下的一塊沿底邊方向平移到另一側，讓兩條斜邊貼合。 你怎麼確定拼出來的形狀是長方形？四個角都是直角：切口垂直於上下邊；拼接處兩角互補成平角，上下邊成一直線；斜邊等長，可完全貼合。可用三角板驗證。 紙片有增加或減少嗎？有重疊或空隙嗎？沒有，所以面積不變（面積守恆）。 長方形的長和寬，是原來平行四邊形的哪一段？長是底，寬是高。 平行四邊形的面積怎麼算？等於長方形面積，所以是底×高。 「怎麼剪」處理的是操作方法，「怎麼確定」處理的是圖形判定，兩者不能用同一句「沿高剪」帶過。 常考陷阱 「一定要從頂點剪下三角形才行」：錯誤。只要切線垂直於一組對邊，且兩端都落在這組對邊上，剪成兩塊梯形也能拼成長方形。 「只要剪一刀，就一定能拼成長方形」：錯誤。斜著剪、沿對角線剪，或切線沒有貫穿兩條平行邊，拼後都會有斜邊或缺角。 「剪出直角三角形就表示成功」：要看直角是否來自垂直於底的切線，以及平移後能否補齊另一端。 「有畫垂線就一定可剪」：垂足若落在對邊延長線上，或另一端落在相鄰邊上，切線就不在兩條平行邊之間，無法完整補齊。 「拼起來像長方形，所以是長方形」：應以四個直角，以及平行、垂直、鄰角互補說明，視覺印象只能協助觀察。 「對邊等長，所以是長方形」：一般平行四邊形也有對邊等長的性質，仍須確認直角。 「剪移後面積和周長都不變」：只能保證面積不變，周長通常會改變。 「面積是底乘斜邊」或「換了底，高照舊」：必須乘上與底垂直、且與該底配對的高。 記憶口訣 垂直對邊剪到底，頂點不經也可以；平移斜邊恰貼齊，不重不漏面積齊；四角皆直成長方，底乘垂高記心上。