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學習重點 掌握古典機率的前提：各個基本結果等可能，才能用「有利結果數 ÷ 所有可能結果數」計算。 比較不同袋子的抽球機率，要比較目標球占全部球的比例，不能只看目標球數或總球數。 兩組各自獨立、等機率抽出一個對象時，以乘法原理求全部配對數，再用列表法計算符合條件的配對數。 將「小於」「高於且超過指定差值」轉成不等式，特別注意等號與比較方向。 核心觀念 一、古典機率：先確認哪些結果等可能 在有限個基本結果都等可能的情況下，事件 A 的機率為：P(A)＝符合 A 的基本結果數 ÷ 所有可能的基本結果數。分子與分母必須使用相同的計數單位；若分子數球，分母就數全部球；若分子數配對，分母就數全部配對。 抽球時，「每顆球被抽中的機會相等」不代表「每種顏色被抽中的機會相等」。例如袋中有多顆紅球及少量黃球，基本結果是每一顆實體球，不能把紅、黃兩種顏色直接當成兩個等可能結果。 若袋中共有 N 顆球，其中某色有 k 顆，則抽到該色的機率為 k／N。機率介於 0 與 1 之間：沒有該色球時機率為 0，全部都是該色球時機率為 1。算出負數或大於 1 的數，表示計數或分母有誤。 二、不同袋子的機率比較：看比例，不看規模 比較甲、乙兩袋抽到同一顏色的機率，應分別計算「甲袋該色球數／甲袋總球數」及「乙袋該色球數／乙袋總球數」。兩袋總球數不同，仍然可以比較機率。目標球較多的一袋，若總球數也較多，抽中的機率未必較大。 例如，300／1000＝3／10，6／20＝3／10，因此兩袋抽到黑球的機率相等，都是 30%。雖然黑球顆數與總球數相差很多，但兩者同比例放大，機率不變。 比較方法操作方式判斷重點 約分將兩個機率化成最簡分數約分後相同，機率就相同 通分將分母化成相同數值分母相同時，分子較大者機率較大 交叉相乘比較 a／b 與 c／d，改比 ad 與 bcb、d 為正數時，大小關係一致 遇到紅球、黃球等種類與數量表，先把每袋所有顏色的球數加總，再分別計算各色比例。某色的分母是該袋全部球數，不是其他顏色的球數。若袋中只有兩種顏色，兩色機率合計為 1；若有三種以上顏色，僅憑紅球比例相同，不能推知黃球比例也相同。 選項常同時列出「紅球甲大」「紅球甲小」「黃球甲大」「黃球甲小」。作答時每種顏色都要各自算出兩袋機率再比較，而且要記得結果有「較大、較小、相等」三種可能：若某色兩袋機率恰好相等，則說「較大」與「較小」的兩個選項都錯，正確答案會落在另一種顏色的比較上。 三、兩組各抽一個：用乘法原理建立配對 甲組有 m 個對象、乙組有 n 個對象，各自獨立且等機率抽出一個時，共有 m × n 個等可能配對，每個配對的機率都是 1／(m × n)。將結果記成「甲的結果、乙的結果」，可清楚保留來源與比較方向。 例如甲組標號為 1、2、3，乙組標號為 2、3、4，共有 3 × 3＝9 個配對。要判斷甲的號碼小於乙，可固定甲的號碼，再逐一檢查乙的號碼： 甲的號碼符合「甲＜乙」的乙方號碼有利配對數 12、3、43 23、42 341 有利配對共 3＋2＋1＝6 個，機率為 6／9＝2／3。這種「固定一邊、掃過另一邊」的數法，也適用於身高、分數或其他數值比較。 驗算方式：同一組資料中，甲＝乙的配對有 (2,2)、(3,3) 共 2 個，甲＞乙的配對只有 (3,2) 共 1 個，6＋2＋1＝9，與全部配對數相符。 若多顆球標有相同號碼，或多位球員身高相同，仍要按實際球數、實際人數計數。數值相同不代表是同一個基本結果。可以將相同數值合併整理，但必須保留其出現次數，不能只數不同數值的種類。 四、差值條件：先翻成不等式，再計數 設甲方數值為 x、乙方數值為 y。「甲比乙高且超過 5 公分」表示 x－y＞5，也就是 x＞y＋5。這是比較甲減乙的差，不是比較差的絕對值；乙比甲高很多，仍不符合條件。 文字條件數學表示邊界判斷 甲小於乙x＜y相等不計 甲比乙高且超過 5x－y＞5恰好差 5 不計 甲比乙至少高 5x－y≥5恰好差 5 要計 兩者相差超過 5差的絕對值＞5任一方較高都可能符合 籃球先發球員每隊 5 位，兩隊各抽一位時，全部配對共有 5 × 5＝25 個。可將甲隊球員列為各列、乙隊球員列為各欄，在符合差值條件的格子做記號；若共有 k 格符合，機率就是 k／25。同一位球員能和多位對手形成不同配對，應分別計入。 計數時也可先將身高由小到大排列。固定甲隊某位球員身高 x，數出乙隊身高小於 x－5 的人數，再將甲隊各人的符合人數相加。題目若將數量或身高放在圖片表格中，實際機率必須依表內資料計算，不能只憑選項代號推定數值。 常考陷阱 「目標球顆數較多，所以抽中的機率較大」：忽略總球數。判斷關鍵是目標球所占比例。 「兩袋總球數不同，所以無法比較」：不同分母的分數仍可約分、通分或交叉相乘。 「不是較大就是較小」：兩袋機率可能相等，此時「較大」「較小」兩種選項都錯。 「紅球比較完就能推知黃球」：三種以上顏色時，各色要分別計算比例。 「每顆球等可能，所以每種顏色也等可能」：把顏色當成等可能結果；只有各色球數相同時，各色機率才相同。 「兩邊各有 3 個，全部結果是 3＋3 個」：各抽一個形成配對，應用乘法，得到 3 × 3 個。 「只數能符合條件的球員人數」：事件發生在兩人配對上，分子要數符合條件的配對數。 「小於包含相等」「超過 5 包含剛好差 5」：兩者都是嚴格不等式，邊界值必須排除。 「兩邊都隨機抽，所以甲較大與乙較大的機率各半」：隨機不代表大小關係對稱；兩組數值分布不同，且可能出現相等，必須實際計數。 「扣掉甲較小，就是甲較大」：若可能相等，還要扣掉相等事件。甲較大、甲較小、兩者相等，三種機率合計才是 1。 記憶口訣 抽球看占比，配對用相乘；固定一邊數，逐列再加總；超過不含等，相同仍算人。