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學習重點 掌握三角形中點連線定理：連結兩邊中點的線段，平行於第三邊，且長度為第三邊的一半。 理解任意四邊形的四邊中點依序連接後，必形成平行四邊形，面積為原四邊形的一半（瓦里斯諾定理）。 分清中點四邊形的「邊長、周長、面積」：新周長等於原四邊形兩條對角線長度之和，並非原周長的一半。 結合菱形鄰角互補、三角形內角和與周角，透過角度分組求總和，不必逐一求出每個角。 核心觀念 一、中點四邊形：從三角形中點連線定理出發 設四邊形依序為 A、B、C、D，四邊 AB、BC、CD、DA 的中點依序為 E、F、G、H。依序連接 E、F、G、H，所得圖形稱為中點四邊形。解題時最重要的輔助線是原四邊形的對角線。 畫出對角線 AC。在三角形 ABC 中，E、F 分別是 AB、BC 的中點，因此 EF 平行 AC，且 EF＝AC÷2。在三角形 ADC 中，同理可得 HG 平行 AC，且 HG＝AC÷2。所以 EF 與 HG 平行且等長。 再由對角線 BD，可得 FG、EH 都平行 BD，且 FG＝EH＝BD÷2。因此，中點四邊形的兩組對邊分別平行，必為平行四邊形。這就是瓦里斯諾定理的基本性質。 此結論不要求原四邊形是正方形、長方形或平行四邊形；一般不自交的凹四邊形也適用。判斷時應依據中點連線定理，不要只憑圖形看起來是否對稱。 二、中點四邊形的周長：看原圖的對角線 由四邊的長度可直接計算： 中點四邊形周長＝AC÷2＋BD÷2＋AC÷2＋BD÷2＝AC＋BD。 因此，新圖形的周長取決於原四邊形兩條對角線，不是把原四邊形四邊長相加後除以二。「中點」只保證特定線段具有一半的長度關係，不能推論整個新圖形是原圖的等比例縮小。 例如原圖是邊長為 2 的正方形，原周長為 8，兩條對角線各長 2√2，中點四邊形周長便是 4√2，並不是 4。題目問「恆真」時，只要找到一個反例，就能否定「任意四邊形的新周長都是原周長一半」這種敘述。 三、中點四邊形的面積：恆為原面積的一半 以凸四邊形為例，畫出對角線 AC，將原圖分成三角形 ABC 與三角形 ACD。角落的三角形 BEF 與三角形 ABC 相似，邊長比為 1：2，因此面積比為 1：4；角落的三角形 DGH，其面積也是三角形 ACD 的四分之一。 所以這兩個角落三角形的面積和，是原四邊形面積的四分之一。改畫對角線 BD，可同樣證明另外兩個角落三角形 AEH、CFG 的面積和，也是原面積的四分之一。 四個角落合計占原面積的一半，扣除後，中間的平行四邊形便占原面積的一半。這個面積結論對一般不自交的凹四邊形也成立，但凹圖不能直接照搬「扣除四個角落」的圖像，需配合實際位置分割計算。 比較項目正確關係判斷依據 圖形種類必為平行四邊形兩組對邊分別平行 個別邊長為原圖對應對角線的一半三角形中點連線定理 周長等於原圖兩條對角線長度之和（不是原周長的一半）兩種邊長各出現兩次 面積恆等於原圖面積的一半分割圖形與面積比例 綜合判斷：「新圖必為平行四邊形」與「新面積為原面積一半」恆真；「新周長為原周長一半」不恆真。 四、菱形角度：鄰角互補，對角相等 菱形是四邊等長的平行四邊形，因此具有對角相等、鄰角互補的性質。若一個內角為 θ，與它相鄰的內角就是 180°－θ，對面的內角則仍為 θ。 特別注意：以三角形的一條邊向外作菱形時，這條邊兩端所對應的兩個菱形內角，是菱形的鄰角，兩者合計 180°。三個菱形不必全等，也不必具有相同的銳角，這個關係仍然成立。 角度題另有兩個固定總量：三角形三內角和為 180°；同一點周圍一整圈的角度和為 360°。遇到多個未知角，應先找這些固定總和，通常比逐一設未知數更有效。 五、三邊向外作菱形：用三個頂點的周角一起結算 當所求的三個角，分別是原三角形各頂點處、兩個相鄰菱形之間的剩餘角域時，可把三個頂點周圍的角度一起加總。每個頂點的一整圈，分成「三角形內角、兩個菱形內角、所求角」四部分。 三個頂點的周角合計為 3×360°＝1080°。其中，三角形內角合計為 180°；六個出現在三角形頂點的菱形內角，則可依所屬菱形分成三組。每組都是同一菱形沿底邊兩端的鄰角，合計 180°，所以六角總和為 3×180°＝540°。 因此，三個剩餘角的總和＝1080°－180°－540°＝360°。關鍵在於按菱形重新分組：同一頂點的兩個菱形角未必互補，同一個菱形底邊兩端的內角才互補。 讀圖時須確認標示的是哪個角域，包括是否為大於 180°的優角。上述算法適用於各頂點四部分恰好組成一整圈的情形，不能把圖上任意三個角都套成 360°。 常考陷阱 「中點四邊形一定是長方形或菱形」：一般只能保證是平行四邊形。若原圖兩對角線垂直，中點四邊形才會有直角；若原圖兩對角線等長，中點四邊形才會四邊等長。 「新周長為原周長的一半」：把中點連線對應的線段認錯了。新圖的邊對應原圖的對角線，應先寫出新周長＝兩對角線長度之和。用正方形一試即可推翻。 「新面積是原面積的四分之一」：誤把整個中點四邊形當成原圖邊長縮小一半的相似圖形。中點四邊形通常與原圖不相似，其面積比固定為 1：2。 「菱形四個角都相等」：菱形保證四邊等長，並不保證四角相等；四角相等的菱形才是正方形。 「同一頂點旁的兩個菱形角相加為 180°」：兩角若分屬不同菱形，不能直接宣稱互補。應沿每個菱形的底邊，找兩端的鄰角配成一組。 「沒有給各菱形角度，所以無法確定總和」：個別角不確定，總和仍可能固定。先用周角總和扣掉三角形內角和與三組菱形鄰角和，得 360°。 「答案是 270° 或 450°」：多半是漏算或重複扣除。正確流程固定為 3×360°－180°－3×180°。 記憶口訣 「中點連線找對角，面積折半周另算。」中點四邊形必為平行四邊形，面積是原圖一半，周長要加原圖兩條對角線。 「菱形鄰角湊一百八，頂點一圈三百六。」三邊外作菱形的剩餘角總和：三圈，減一個三角形，再減三組鄰角，等於 360°。