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學習重點 掌握因數與倍數的整數關係，知道乘數可以是 0，不能因為出現小數乘法就認定有因數關係。 區分質數、合數、互質與完全平方數，特別注意 0 與 1 的分類，以及正因數個數的奇偶性。 利用整除判別法辨認倍數，並理解不同分類可以重疊，計數時應分別統計。 將同單價購物問題轉成「總價＝單價×整數本數」，搭配單價範圍縮小可能情形。 運用整除的線性組合性質，以共同因數判斷兩數和、差必然具有的整除關係。 核心觀念 一、因數與倍數：關鍵在於「整數倍」 對整數 d、n，若存在整數 k，使 n＝d×k，就稱 n 是 d 的倍數；當 d≠0 時，也可說 d 是 n 的因數，或 n 可被 d 整除。判斷時，重點是商必須是整數，不是只要能寫成乘法就成立。 例如 35＝7×5，因此 35 是 7 的倍數，7 是 35 的因數；但 14＝4×3.5，因為 3.5 不是整數，所以不能據此說 4 是 14 的因數。 0 是每個非零整數的倍數，因為 0＝d×0，例如 0＝17×0，所以 0 是 17 的倍數。依「某整數乘以另一整數」的倍數定義，0 也是 0 的倍數，因此可說 0 是任何整數的倍數；但這不表示可以做除以 0 的運算。「是 0 的倍數」與「可用 0 作除數」不可混為一談。 二、質數、合數、互質與因數個數 概念判斷標準重要提醒 質數大於 1，且正因數只有 1 與本身恰有兩個正因數；2 是唯一的偶質數 合數大於 1，且除了 1 與本身，還有其他正因數至少有三個正因數 0 與 1兩者都不是質數，也不是合數不能把「不是質數」直接當成「是合數」 互質兩個正整數的最大公因數為 1描述兩數之間的關係，不要求兩數各自是質數 判斷正整數 n 是否為質數，只須檢查不大於 √n 的質數是否能整除它。因為若 n＝u×v 為合數，不可能 u、v 都大於 √n。例如判斷 127，因為 11²＝121＜127＜144＝12²，只須檢查 2、3、5、7、11；它都不能被這些質數整除，因此是質數。 正因數通常成對出現：若 d 是 n 的正因數，就有另一個正因數 n÷d。只有當 d＝√n 時，這一對才會重合。因此，正整數的正因數個數為奇數，若且唯若它是完全平方數。例如 16 的正因數為 1、2、4、8、16，共五個；1 也只有一個正因數。所以「任一正整數的正因數個數皆為偶數」是錯的。 互質不代表兩數都是質數。例如 8 與 9 都是合數，但最大公因數為 1，仍然互質；1 與任何正整數也都互質。 三、倍數判別與分類計數 判別對象十進位整數的判別方式 3 的倍數各位數字和是 3 的倍數 9 的倍數各位數字和是 9 的倍數 11 的倍數交錯位數的數字和相減，所得差是 11 的倍數，包含差為 0 例如判斷 297，可計算（2＋7）－9＝0，因此它是 11 的倍數；其各位數字和為 18，也能判斷它是 3 與 9 的倍數。297＝3³×11，有 1 與本身以外的因數，所以是合數。判別 11 的倍數時，差不必恰好等於 11，等於 0、－11 或其他 11 的整數倍也成立。 遇到分別統計質數、合數、某數倍數的題型，應建立不同欄位各自判斷。質數與合數不會重疊，但「合數」與「某數的倍數」可以重疊；0 雖非質數、合數，仍要計入倍數欄。若要求各類個數相加，同一個數符合兩類，就會在兩類中各計一次。 數質數？合數？11 的倍數？ 0否否是（0＝11×0） 1否否否 127是否否 297否是是 像上表這樣逐欄判斷，就不會漏掉 0，也不會因為 297 已算入合數而忘記再算入倍數。 四、同單價購物：先用本數限制單價 設單價為 p 元，購買 n 本，總價為 T 元，則 T＝pn，其中 n 必須是正整數。因此，同單價的兩筆總價，都必須是 p 的正整數倍。 例如某人花費 36 元，且每本超過 10 元，則 n＝36÷p＜3.6。因為本數為正整數，所以只能買 1、2、3 本，對應單價分別為 36、18、12 元。這種做法直接利用本數限制，不必先額外假設單價一定是整數元。 接著把另一筆可能總價分別除以候選單價，只要有一種商為正整數，就符合「可能」；若每種都無法買到整數本，就應排除。例如 48÷12＝4，可能；16、27、30 除以 12、18、36 都得不到正整數，或小於單價根本買不到一本，都要排除。若題目明定單價為整數元，也可找兩筆總價的公因數，再檢查是否符合單價範圍。 五、整除的線性組合：共同因數可以保留 若 d≠0，且 d 能整除 a、b，可寫成 a＝dm、b＝dn，其中 m、n 為整數。對任意整數 r、s，有 ra＋sb＝d（rm＋sn），因此d 也能整除 a、b 的任意整數倍之和或差。 例如 a＝12m、b＝8n，便有 a－b＝4（3m－2n）、a＋b＝4（3m＋2n），因此和、差都一定可被 4 整除。這裡的 4 是 12 與 8 的最大公因數。 一般而言，若 a 是 M 的倍數、b 是 N 的倍數，則兩者的共同因數都能整除 a＋b 與 a－b。不能直接把這個保證提升成 M、N 或最小公倍數。若要否定「一定」，只要找出一組符合前提但不符合結論的數值即可。例如取 a＝12、b＝8：a＋b＝20，不能被 8 或 24 整除；a－b＝4，不能被 12 整除，這些過強的主張就同時被推翻。 常考陷阱 「倍數一定比原數大」：倍數的定義包含乘以 0，也包含乘以負整數；只有限定正倍數時，才依正整數倍討論。 「0 不是任何數的倍數」：0＝d×0，0 是任何整數的倍數，計算倍數個數時別漏掉 0。 「不是質數就是合數」：先確認是否大於 1；0、1 都不能歸入質數或合數。 「正因數個數都是偶數」：完全平方數的平方根因數會與自己配對，所以正因數個數為奇數。 「能寫成乘法就有因數關係」：必須確認乘數是整數；小數乘法等式不足以證明整除。 「互質的兩數必為質數」：互質只看最大公因數，兩個合數也可能互質。 「11 的倍數判別，交錯和之差不能是 0」：0 本來就是 11 的倍數，差為 0 正好符合條件。 「候選總價只要超過單價就可以」：還須確認總價除以單價得到正整數，不能買到分數本。 「兩數分別整除，和差也保留原本全部條件」：共同因數才能直接保證；看見「定可被」要用代數證明，看見可疑結論則找反例。 記憶口訣 因倍看整數，零倍別漏數；平方因數奇，互質看公因；同價列本數，和差保公因。