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學習重點 辨認「正多邊形內接於圓」：各頂點都在圓上，圓心到頂點的距離為外接圓半徑。 掌握正三角形的邊長、高與外接圓半徑關係（R＝a／√3），利用面積公式求三角形與圓的面積比。 掌握正六邊形可分成六個正三角形，以及中心到邊中點所形成的 30°、60°、90° 直角三角形。 遇到相切圓，先連接圓心與切點，再利用圓心距、對稱性及畢氏定理求半徑。 核心觀念 一、先分清楚三種長度 圓與正多邊形的組合圖形中，最容易混淆的是外接圓半徑、正多邊形邊長，以及中心到邊的距離。設正多邊形中心為 O，頂點為 A，一邊的中點為 M，則 OA 是外接圓半徑；OM 垂直該邊，是中心到邊的距離，也等於正多邊形內切圓半徑。兩者通常不相等。 比較項目正三角形正六邊形 相鄰頂點所對的圓心角120°60° 邊長 a 與外接圓半徑 Ra＝√3Ra＝R 中心到邊的距離R／2√3R／2 表中的關係必須先確認是哪一個正多邊形、哪一個圓才能套用。同一張圖中若有大圓、小圓及輔助正六邊形，各自的半徑不能混用。 二、圓內接正三角形的邊長與半徑 設正三角形邊長為 a，高為 h，外接圓半徑為 R。將正三角形的一條高畫出，可得到兩個全等的直角三角形，因此： h＝√3a／2。 正三角形的外心、重心與內心重合，而重心到頂點的距離是高的 2／3，所以： R＝（2／3）h＝a／√3，亦即a＝√3R。 不必背整串推導，但要記住：正三角形的外接圓半徑不是高的一半，也不是邊長的一半。若需檢查，可由 R＝2h／3 回推。 三、正三角形與其外接圓的面積比 以共同的外接圓半徑 R 表示兩個面積，最容易約分。正三角形面積為： （√3／4）a²＝（√3／4）（√3R）²＝（3√3／4）R²。 圓面積為 πR²，因此： 正三角形面積：外接圓面積＝3√3：4π。 也可以寫成面積比值 3√3／（4π）。若選項採用不同形式（例如分數形式或約分前後的寫法），應先統一表示方式再比較，不要只憑外觀判斷。 若改以邊長 a 計算，圓面積為 π（a／√3）²＝πa²／3，三角形面積為 √3a²／4，比值仍為 3√3：4π。這也說明面積比與圖形大小無關：半徑放大 k 倍，兩者面積都放大 k² 倍，比值維持不變。因此題目沒給數值時，可放心假設 R＝1 來計算。 四、相切圓先找圓心連線 兩圓外切時，兩個圓心與切點在同一直線上，且圓心距＝兩半徑之和。若兩圓半徑同為 r，圓心距就是 2r，切點恰好位於兩圓心連線的中點。 因此，等圓相切的花朵形圖形，應先把相鄰小圓的圓心連起來，將曲線問題轉成線段與三角形問題。相切位置雖然畫成圓弧，仍可使用其所屬圓的圓心與半徑。 另須分辨：兩圓內切時，圓心距為兩半徑之差。外切用和、內切用差，不能只看到「相切」就直接相加。 五、花朵形中的兩個正六邊形 花朵形配置的關鍵，是區分切點構成的正六邊形與小圓圓心連成的輔助正六邊形。六個切點是大圓上的六個等分點，因此切點構成正六邊形，其邊長等於大圓半徑。 六個等圓依序外切、圓心呈正六邊形排列，相鄰小圓的圓心距為 2r，故圓心所成正六邊形的邊長為 2r，中心到其頂點的距離也為 2r。各切點則是這個輔助正六邊形的邊中點。 設共同對稱中心為 O，相鄰兩個小圓圓心為 P、Q，切點為 T。因為 T 是 PQ 的中點，所以 PT＝r，且 OT 垂直 PQ。又 OP＝2r，故由畢氏定理： OT²＝OP²－PT²＝（2r）²－r²＝3r²。 切點 T 位於大圓上，OT 就是大圓半徑，因此大圓半徑 R＝√3r。小圓半徑為 4 時，大圓半徑即為 √3×4＝4√3。 也可辨認直角三角形 OPT 為 30°、60°、90° 三角形，其三邊比為 1：√3：2；短股 PT 是小圓半徑 r，長股 OT 是大圓半徑 √3r，斜邊 OP 為 2r。換句話說，大圓半徑正是「圓心正六邊形」的中心到邊距離，即 √3／2×2r＝√3r，與上表一致。 線段意義長度（以小圓半徑 r 表示） PT小圓半徑（圓心到切點）r PQ、OP相鄰圓心距、圓心六邊形邊長與外接圓半徑2r OT大圓半徑（中心到切點）√3r 常考陷阱 把正三角形面積比寫成 4：3π 或 3π：4：這類形式來自漏掉正三角形面積公式中的 √3，或把比的次序顛倒。應先各自算面積，再依題目指定的「三角形：圓」順序排列。 平方時漏乘 3：（√3R）²＝3R²，因此三角形面積係數是 3√3／4，不是 √3／4；若得到 √3：4π 就是此處出錯。 將內接與外切混淆：三角形內接於圓，表示三個頂點在圓上；求面積時使用的是外接圓半徑，不能套用內切圓半徑（R／2）。 把小圓半徑當成大圓半徑：小圓的圓心到切點長為 r，大圓中心到切點才是 R。兩條線段的起點不同，不能直接令 R＝r（誤選 4）。 看到六等分就認定所有線段都等於半徑：正六邊形「邊長等於外接圓半徑」，只適用於同一個正六邊形。輔助圓心六邊形的邊長 2r，不等於切點所在大圓的半徑。 選到 2√3：把已知的小圓半徑 4 誤當直徑再除以 2，就會得到 2√3。題目給的是半徑，直接乘 √3 即可。 憑圖形比例猜數值：相切花朵題要由圓心距與直角三角形計算，像 6 這類「看起來差不多」的整數答案通常是陷阱。 記憶口訣 「正三邊長根三 R，面積三根三比四 π。」提醒自己：正三角形邊長為 √3R，三角形與外接圓面積比為 3√3：4π。 「等圓外切先加倍，切點平分圓心線；六邊中心連中點，一、根三、二出現。」先找 2r 的圓心距，再找 r 的半邊長，最後利用 1：√3：2 的特殊直角三角形求出大圓半徑 √3r。