圓周角與內接三角形

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建立於 2026年11月10日

學習重點 辨認圓內接三角形中的直角，利用「直角所對的弦為直徑」，求出外接圓半徑。 結合畢氏定理與圓面積公式，完成「求斜邊、求半徑、求面積」的計算。 掌握同弧所對的圓心角與圓周角關係，並正確辨認角所對的弧。 利用「點在圓上、圓內、圓外」時張角的大小關係，判斷平行線上動點對固定線段的張角範圍；等腰位置為最大值，並判斷上下界能否取到。 核心觀念 一、先辨認圓內接與外接圓 三角形的三個頂點都在同一圓上，稱為圓內接三角形；從三角形的角度來看，這個圓就是它的外接圓。外接圓圓心到三個頂點的距離相等，都是半徑。 四邊形的四個頂點若都在同一圓上，連接其中三個頂點形成的三角形，也內接於同一圓。因此，要求四邊形外接圓的面積，可以先尋找圖中的直角三角形，利用它求出整個圓的半徑，不必先求四邊形面積。 二、直徑所對的圓周角是直角 泰勒斯定理：若線段 BC 是圓的直徑，A 是圓上異於 B、C 的點，則 ∠BAC＝90°。反過來，若圓內接三角形 ABC 的 ∠BAC＝90°，則 BC 必為直徑。 判斷時要找直角的對邊，也就是直角三角形的斜邊；不是任選一條弦當直徑。若斜邊長為 c，外接圓半徑 R＝c÷2，而外心就在斜邊的中點。 若兩股長分別為 a、b，先由畢氏定理得到 c²＝a²＋b²，再求 R。也可以直接使用： R＝√（a²＋b²）÷2；圓面積＝πR²＝π（a²＋b²）÷4。 例如，直角三角形兩股長為 6、8，則斜邊長為 √（36＋64）＝10，外接圓半徑為 5，圓面積為 25π 平方單位。又如斜邊（直角所對的邊）長為 13，則直徑為 13，半徑為 13/2（即 6.5），不是整數，答案常以分數形式出現。常見的整數直角三角形邊長還有 3、4、5，以及 5、12、13；但使用前仍須確認哪些邊是兩股、哪一邊是斜邊。 如果只知道某一邊長為 13，不能直接斷定半徑是 13÷2；必須先確認該邊是直角所對的邊，才能把它當作直徑。 三、同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍 圓心角的頂點在圓心，兩邊為半徑；圓周角的頂點在圓周上，兩邊沿著弦。兩者必須對應同一段弧，才可以使用倍數關係： 圓心角＝2×圓周角；圓周角＝圓心角÷2。 例如，∠DAC 的兩邊通過 D、C，它所對的是不含頂點 A 的弧 DC。若 ∠DAC＝x°，則同弧 DC 所對的圓心角 ∠DOC＝2x°。判斷時應先看角的兩邊通過哪些圓上點，再找對應弧與圓心角。 若圖中所求的是另一側的圓心角，則須利用一周角為 360°，計算 360°－2x°。尤其當圓周角所對的是優弧時，與它對應的圓心角會是大於 180° 的角，不能一律把兩條半徑間較小的角當作答案。 概念判斷關鍵可用關係 圓心角與圓周角必須對同一弧圓心角為圓周角的兩倍 兩個圓周角對同一弦，且頂點在弦的同側圓弧上兩角相等 圓內接四邊形的對角四個頂點都在同一圓上兩個對角相加為 180° 「圓心到各頂點距離相等」表示這些線段都是半徑，不代表各弦等長，也不代表四邊形一定是正方形。 四、圓上、圓內、圓外的張角比較 設 B、C 為圓上兩點，P 與某段弧上的點位在弦 BC 的同一側，比較 P 對 BC 所張的角 ∠BPC 與該弧上的圓周角 θ： P 的位置∠BPC 與圓周角 θ 的關係 P 在圓上（同側弧上）∠BPC＝θ P 在圓內∠BPC＞θ P 在圓外∠BPC＜θ 記法：點愈靠近弦 BC，張角愈大；點愈遠離，張角愈小。這個關係是判斷動點張角最大值的工具。 五、平行線上動點的張角：等腰時最大 設 B、C 是直線 L₂ 上的兩個定點，A 在另一條與 L₂ 平行的直線 L₁ 上移動。因兩條相異平行線的距離固定，所以 A 到 BC 所在直線的垂直距離固定；但 A 到 B、C 的距離，以及 ∠BAC，都會隨位置改變。 令 M 為 BC 的中點。當 A 位於 BC 的垂直平分線上時，AB＝AC，三角形 ABC 為等腰三角形，此時 ∠BAC 最大。A 從這個位置往任一側移動，張角都會變小。 可以用圓周角理解：通過 B、C，並與 L₁ 在等腰位置 A₀ 相切的圓，提供了最大張角的位置。L₁ 上除了 A₀ 以外的點都在此圓外，由上一段的比較可知，它們對 BC 的張角都比 A₀ 的圓周角小。 若題目給定AB＝AC 時，∠BAC＝78°，便可判定最大值為 78°。A 沿直線移得愈遠，張角愈接近 0°，但任何有限位置的 A 都不在 BC 所在直線上，因此張角不會等於 0°。完整範圍為： 0°＜∠BAC≤78°。 因此，小於或等於 78° 的正角度都可能出現，例如 30°、60°；80°、90° 超過最大值，不能出現。這裡的前提是78° 發生在等腰位置；若只知道某個任意位置的張角為 78°，不能直接把它認定為最大值。 常考陷阱 看到三點在圓上，就把某邊當直徑：三點共圓不代表三角形必為直角三角形。必須有直角標示、直徑條件，或其他足以推出直角的資訊。 把股長或股長的一半當半徑：例如 5、12、13 的直角三角形，選項常放 5、6 誘答；真正的直徑是斜邊 13，半徑為 13/2。 半徑與直徑混用：畢氏定理求出的斜邊若是直徑，還要除以 2 才是半徑。算圓面積時若直接使用直徑平方，結果會是正確值的 4 倍（如誤得 100π 而非 25π）。 把兩股直接相加：直角三角形使用的是平方和，斜邊為 √（a²＋b²），不是 a＋b，也不是 √（a＋b）。 求面積卻選成半徑或周長：半徑用長度單位，面積用平方單位；πR² 與 2πR 的用途不同。 圓心角與圓周角倍數弄反：是圓心角為圓周角的 2 倍，不是一半；選項中的 x°、(90－x)°、(90－2x)° 都是常見誘答。 看到圓心就乘 2：先確認所求圓心角與已知圓周角是否對同一弧。若對應另一段弧，須再用 360° 扣除。 認為對同一弦的圓周角一定相等：頂點在弦的同側圓弧時才相等；位於兩側時，兩角互補。 把平行誤認成張角固定：平行線只固定了高，沒有固定兩腰。動點移動時，張角仍會改變。 認為動點可以移動，就能形成任意角度：張角受底邊與兩平行線距離限制，不能超過等腰位置的最大值；0° 只能趨近，不能取到。 記憶口訣 「直角對直徑，半徑再折半；同弧看兩角，圓心是兩倍；圓內角較大，圓外角較小；平行線上跑，等腰張角大。」