阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 周長看邊界：沿著圖形外緣走一圈，只計算外露的圓弧與線段，不計算內部接合線。 扇形重組先分兩類：分別統計外露圓弧及外露半徑，再將兩者相加。 比較曲線先找半徑：圓周長、半圓弧長都與半徑成正比；不同半徑的圓，不能只比較「整圓」或「半圓」。 圓與長方形結合：用切線確定長方形的一邊等於半徑，再以等面積求出另一邊。 精確計算後再取近似值：先保留π，最後才以π≈3.14代入，依題意取最接近的整數。 核心觀念 一、周長是指定區域的邊界總長 計算周長前，先確認要求的是整個重組圖形，還是其中的陰影區域。可以想像用筆沿著指定區域的邊界描一圈：筆實際走過的線才要計算。圖上雖然畫有線段，只要它位於圖形內部，就不一定是周長的一部分。 圓弧與直線混合時，統一使用：周長＝外露圓弧總長＋外露直線總長。若求的是陰影區域，圓內的一段弧也可能是陰影的邊界，不能只看整張圖最外側的輪廓。 二、八等分扇形重組：圓弧與半徑分開算 半徑為r、直徑為d的圓，其圓周長為2πr＝πd。將圓平分成八個扇形，每個扇形的圓心角為45°，每段弧長為原圓周長的八分之一，即πr／4。 將八個扇形一上一下交錯排列時，八段圓弧全部外露，它們的總長仍等於原圓周長；不必因為弧線朝向不同，就逐段重新計算。相鄰扇形之間的半徑互相貼合，屬於內部接縫；只有最左、最右兩端各留下一條半徑外露，總長為2r，也就是原圓的直徑。 因此，八段弧全部外露，且另有兩條半徑外露的重組圖形，周長為： P＝2πr＋2r＝πd＋d＝d（π＋1）。 直徑d半徑r圓弧總長πd外露半徑2r周長d（π＋1）最接近整數 636π≈18.846≈24.8425 848π≈25.128≈33.1233 這類計算的關鍵不在八個扇形各自的周長，而在重組後究竟留下哪些邊界。上述公式有使用條件，不能把「分成八份」直接當成「周長一定加兩條半徑」。若排列方式改變，外露半徑的條數或外露圓弧的總長也可能改變，仍須先辨識圖形。 三、大圓與內部兩個半圓：比較半徑和 半徑為r的半圓，其弧長為πr；若求整個半圓圖形的周長，才需要再加上直徑2r。 計算對象長度是否包含直徑 圓周長2πr不另加直徑 半圓弧長πr不包含 半圓圖形周長πr＋2r包含 大圓內兩個相同大小的半圓兩兩相切時，兩個小半圓的直徑排在大圓的同一條直徑上，合起來恰好等於大圓直徑。設大圓半徑為R，每個小半圓的半徑就是R／2。 圓內曲線是兩段半圓弧首尾相接（形成S形曲線），總長為π×R／2＋π×R／2＝πR；大圓周長為2πR。因此，大圓周長是圓內曲線長的2倍。換個角度看：圓內曲線長πR恰好等於大圓的半圓弧長，所以比值為2。 更一般地，數段半圓弧的總長等於π×各半徑的總和。只要小半圓的直徑沿著大圓直徑排滿，不論分成幾段，圓內曲線總長都等於大圓周長的一半。判斷時應先從直徑排列與相切關係找出長度關係，不能只因為看見「兩個半圓」，就認為它們必定合成大圓的周長。 四、圓與長方形：由切線、等面積求邊長 圓心到切點的半徑垂直於切線。在長方形OABC中，O為圓心、AB為切線，而OA⊥AB，所以A就是切點，OA等於圓的半徑r。 設長方形另一邊OC＝AB＝h。圓與長方形等面積，代表rh＝πr²，約去正數r後得到h＝πr。注意：等面積只能建立面積等式，不能直接認定兩圖形周長相等。 若圓周長為4，則2πr＝4，所以r＝2／π，h＝πr＝2。因為h＝2＞r＝2／π，圓會與OC相交於長方形內部某點。長方形以O為頂點的直角對應90°圓心角，因此該角內的四分之一圓弧長為4÷4＝1。 量由來數值 半徑r＝OA＝BC2πr＝42／π 長邊h＝OC＝ABrh＝πr²2 四分之一圓弧圓周長÷41 長方形周長2（r＋h）4＋4／π 五、長方形內、圓外區域的周長 對於長方形內扣除四分之一圓後的陰影區域，可設圓與OC交於D。其邊界由AB、BC、CD及四分之一圓弧AD組成。其中AB＝h、BC＝r，而CD＝h－r；半徑OA、OD位於陰影之外，不屬於陰影邊界。 三段直線的總長為h＋r＋（h－r）＝2h。加上四分之一圓弧，得到： P＝2h＋圓周長÷4。 代入h＝2、圓周長＝4，可得P＝4＋1＝5。半徑項會相消，是因為一段直線長為r，另一段則從h中扣掉r；不是因為半徑可以任意忽略。 常考陷阱 只算原圓周長：重組後即使所有圓弧總長不變，仍會多出兩條外露半徑。只算πd，例如直徑8時得8π≈25，會漏掉直線邊界而選錯。 把直徑當半徑代入：題目給的是直徑，若誤用2π×直徑，數值會變成兩倍（如直徑6得12π≈38、直徑8得16π＋16≈66）；反之把直徑再除錯一次，則會得到約一半的數值（如3π＋3≈13）。題目給d時直接用πd最安全。 把八個扇形周長全部相加：如此會把內部接合的半徑也算進去。應先剔除內部接縫，再加總外露部分。 把半圓弧長當半圓周長：題目問「曲線長」，只計圓弧；多加直徑會造成錯誤。 認為兩個小半圓弧等於大圓周長（倍數為1）：兩個小半圓的半徑只有大圓的一半，合起來只等於大圓的半圓弧。 把倍數誤寫成π或4：比較的是兩段曲線長，π會在相除時約去，答案是純數2；選3.14是把弧長公式中的π當成答案，選4則是誤把面積比（半徑平方）用在長度上。 把等面積誤認為等周長：圓周長為4，不表示等面積長方形或陰影區域的周長也是4。 把長方形整圈當成陰影周長：長方形周長4＋4／π包含未與陰影相鄰的邊，不能直接作答。應逐段確認陰影邊界。 漏算圓弧，或保留已被扣除的直線：陰影邊界中的四分之一圓弧要加上；只算直線再加上一段半徑，容易得到1＋4／π之類的錯誤式子。圓內的半徑線段OA、OD不能照算。 過早取近似值：先以π保留精確式，最後再以π≈3.14取近似值，並依「最接近的整數」判斷。 記憶口訣 周長沿邊走，接縫不計入；圓弧先加總，直線另清數。 八扇交錯排，一圈加一徑：周長＝d（π＋1）。 半圓弧是πr，要算周長加直徑；小半圓排滿直徑，曲線只有大圓一半。 切線垂直半徑，等面積先列等式；h＝πr，陰影周長＝2h＋四分之一圓。