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學習重點 把「棉線剛好圍成直徑 70 公分的圓」換成棉線總長＝70π 公分（π 取 3.14 約為 219.8 公分）。 最外圍大正方形的邊長要依圖形配置讀出。本單元圖形中，大正方形邊長為 7 個小正方形邊長，也就是 70 公分，周長為 280 公分。 階梯狀圖騰的外圍可用平移法計算：把凹凸邊平移後，周長等於外接長方形的周長。 也可以用「各塊周長總和－共用邊×2」來驗算圖騰外圍長度。 以「棉線長是否大於或等於所需周長」判斷是否夠用，並寫出數據與比較理由。 核心觀念 一、先把圓形資訊換成可用線長 同一捲棉線改圍成不同形狀時，改變的是形狀，棉線總長度不變。既然棉線剛好能圍成一個圓，線長就等於該圓的圓周長，而不是圓面積。 圓周長公式為：圓周長＝直徑 × π＝2 × 半徑 × π。直徑 70 公分時，棉線長為 70π 公分。取 π＝3.14 時約為 219.8 公分；取 π＝22／7 時約為 220 公分。不論取哪一種近似值，線長都小於 280 公分，所以結論不受影響。 二、最外圍大正方形：邊長 × 4 正方形四邊等長，因此正方形周長＝邊長 × 4。本單元圖形的大正方形一邊相當於 7 個小正方形邊長，所以： 邊長＝7 × 10＝70 公分 周長＝70 × 4＝280 公分 因為 280 ＞ 70π ≈ 219.8，所以棉線不夠，還差約 60.2 公分。 另一種說法：直徑 70 公分的圓剛好可以放進邊長 70 公分的正方形內，與四邊相切，也就是內切圓。被包在裡面的凸圖形周長比較短。圓周長與外切正方形周長的比為 π：4，所以圓周長一定比較短，棉線圍不住這個大正方形。 注意：25 塊壁磚不代表外框就是 5 × 5。壁磚排成什麼形狀、外框多寬，都要看圖決定，不能只靠塊數推算。 三、圖騰外圍：階梯形用平移法 本單元的灰色圖騰是由小正方形排成的菱形（鑽石形）階梯圖案，每列塊數依序為 1、3、5、7、5、3、1，合計 25 塊。最寬處是 7 塊，也就是 70 公分；最高處同樣是 7 塊，也就是 70 公分。 圖騰外圍是一階一階的階梯邊。可以把所有朝上的水平小邊往上平移，把所有朝右的垂直小邊往右平移，其他方向也依此類推。這些小邊會剛好拼成外接正方形的四條邊。因此： 圖騰外圍周長＝外接正方形周長＝70 × 4＝280 公分 280 ＞ 219.8，所以棉線仍然不夠。 平移法可以使用的條件是：圖形每一列、每一行都是連續的，沒有向內凹進去的「口袋」。如果邊界有凹進去後又折返的缺口，凹口內的兩側邊會讓周長變長，就不能只用外接長方形周長計算。 四、用共用邊驗算：每條共用邊扣兩次 每塊小正方形的周長是 40 公分，25 塊合計 1000 公分。兩塊相鄰的壁磚共用一條 10 公分的邊，這條邊在相加時被兩塊各算一次，但它在圖形內部，不需要鑲邊，所以每一條共用邊要扣 20 公分。 共用邊種類計算條數 同一列左右相鄰0＋2＋4＋6＋4＋2＋018 上下兩列相鄰1＋3＋5＋5＋3＋118 合計36 外圍周長＝1000－20 × 36＝1000－720＝280 公分，與平移法的結果一致。 只有角點相碰的兩塊壁磚沒有共用邊，不能扣除。如果圖形內部有孔洞，這個公式算出的長度會包含孔洞邊界；題目只問外圍時，要把孔洞邊界扣掉。 五、兩種鑲邊比較與作答格式 比較項目最外圍大正方形灰色圖騰外圍 形狀邊長 70 公分的正方形每列 1、3、5、7、5、3、1 塊的階梯菱形 算法70 × 4平移成外接正方形，或用 1000－20 × 36 所需長度280 公分280 公分 棉線長70π ≈ 219.8 公分 結論不夠不夠 申論題作答範例：「棉線長＝70 × 3.14＝219.8（公分）；所需周長＝……＝280（公分）；因為 219.8 ＜ 280，所以不夠用。」作答時要寫出線長、所需周長、大小比較和結論四個部分。 常考陷阱 直徑再乘以 2：70 公分已經是直徑，圓周長是 70π，不是 140π。 用面積比較：πr²、25 × 100 平方公分都是面積。鑲邊比的是長度，單位是公分。 看到 25 塊就當成 5 × 5：如果誤以為外框邊長是 50 公分，周長 200 公分，就會錯判成「夠用」。 以為斜斜的菱形周長比較短：階梯邊不是斜線。每一階都由水平段和垂直段組成，總長等於外接正方形周長 280 公分，不能用斜邊長度估算。 以為圖騰比外框小，周長就比較小：面積比較小，不代表周長比較小。本單元中，圖騰和外框的周長一樣都是 280 公分。 直接把 25 塊周長相加：1000 公分包含了內部接縫，必須扣掉 36 條共用邊 × 20 公分。 只回答「夠」或「不夠」：沒有列出計算和比較，申論題會被扣分。 記憶口訣 圓周直徑乘π，方形邊長乘以四；階梯平移成外框，共邊一條扣兩次；圓在方內周長短，線比周長短就不夠。