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學習重點 把行走方向的改變看成「轉角」：比較進入頂點前與離開頂點後的前進方向，不可直接把內角當成轉角。 熟記簡單多邊形的內角和為（邊數－2）×180°；凸多邊形沿同一方向繞一圈，外角和恆為360°。 分清楚「每一個外角」與「外角總和」：正多邊形的邊數改變，單一外角會改變，外角和仍相同。 星形路徑可能繞中心超過一圈，應依頂點連接順序計算轉角，不能直接套用360°。 比較三角形與四邊形時，也要掌握三角形內心、外心的位置，避免把不同性質混在一起判斷。 核心觀念 一、行走轉角就是前進方向改變的角度 沿直線前進時，方向沒有改變，轉角為0°；到頂點改走另一條邊時，才產生轉角。判斷時可想像把原本的前進方向向前延長，再看身體需要轉多少，才能朝下一段路前進。 在凸多邊形的頂點，內角與行走轉角互為補角，因此轉角＝180°－內角。例如內角為120°，沿邊界前進時只需轉60°，不是轉120°，也不是轉240°。 路徑若只走一部分，應將實際經過、且發生方向改變的頂點所對應的轉角相加。從某條邊上的點出發，出發當下已有前進方向，不必額外加上一個轉角；到達終點後若沒有繼續行走，也不自行補上轉向。 遇到圖形，可先依行走順序畫出箭頭，再逐一標記轉角。計算方式有兩種： 直接相加：把經過的每個頂點，分別以「180°－內角」求出轉角後相加。 扣除法：完整繞一圈的外角和是360°，因此已走路段的轉角和＝360°－未經過頂點的轉角和。當未經過的頂點較少、或其角度較容易求得時，用這個方法最快。 使用扣除法的前提是能確認哪些轉角沒有發生。圖中的角度、點的位置與行走方向都必須依實際標示判讀，不能只憑圖形外觀估算。 二、內角和隨邊數改變，凸多邊形外角和不變 沒有自我交叉的簡單n邊形，其內角和為（n－2）×180°。三角形內角和為180°，四邊形為360°，五邊形為540°，六邊形為720°；每增加一條邊，內角和增加180°。 凸多邊形若在每個頂點都依相同繞行方向取一個外角，這些外角的總和恆為360°。推導方式：每個頂點的內角加外角為180°，n個頂點共n×180°，扣掉內角和（n－2）×180°，剩下的外角和就是2×180°＝360°。直觀上，沿邊界走完一圈並回到起始前進方向，身體恰好轉了一整圈。 比較項目內角和外角和 凸n邊形（n－2）×180°360° 邊數增加隨之增加維持不變 三角形與四邊形比較180°＜360°360°＝360° 五邊形與六邊形各繞一圈分別為540°、720°轉角總量皆為360° 因此，兩人分別沿不同邊數的凸多邊形公園，以相同方向各繞一圈，旋轉角度相差0°。起點不同、邊長不同或外形不同，都不影響這個結論。 注意「外角和」是指每個頂點只取一個外角。若每個頂點兩側的外角都算進去，總和會變成720°，這不是一般所說的外角和。 若路徑有凹角，轉向可能同時包含左轉與右轉。此時要選定正方向，以帶正負號的轉角相加；簡單封閉路徑繞行一圈的有向轉角和為正360°或負360°。不能把所有左轉、右轉的角度大小一律相加，再宣稱一定等於360°。 三、正多邊形要分清「單一外角」與「外角和」 正n邊形的每個外角相等，因此每一個外角＝360°÷n，每一個內角則為180°－360°÷n。正八邊形的單一外角為45°，正九邊形為40°；兩者的單一外角相差5°，但外角和都是360°，所以外角和相差0°。 看到「正」字，只代表各邊、各內角相等，方便計算單一角度；外角和為360°並不需要正多邊形的條件，一般凸多邊形也成立。 四、星形封閉路徑：依連接順序計算 星形路徑可能自我交叉，並不屬於前述簡單多邊形，不能因為最後回到出發點，就認定總轉角只有360°。應先看圓周上相鄰頂點的圓心角，再看每次沿圓周跨過幾個間隔。 正九邊形各邊延長後，相交所得的九個點具有相同的對稱性，會落在同一個圓上並把圓周九等分，相鄰兩點的圓心角是360°÷9＝40°。若沿固定方向每次跨兩個間隔連接，例如依E、G、I、B等順序前進，每一段所跨的圓心角為80°。 在這種規則連接方式中，各段弦的前進方向依序改變80°，所以每個星形頂點的行走轉角為80°。也可用圓周角驗證：頂點兩側連線所夾的角，所對的弧為剩下的5個間隔，即200°，圓周角為200°÷2＝100°，因此轉角為180°－100°＝80°。 走遍九個星形頂點後，總轉角為9×80°＝720°，相當於方向累積旋轉兩圈。若出發點位於其中一段直線上，回到該點時仍沿同一直線前進，該點不額外產生轉角。 一般化：圓周n等分點、每次跨k個間隔連成的星形，每個頂點轉角為k×（360°÷n），繞完一次的總轉角為k×360°。跨幾格，方向就累積轉幾圈。 解題時要分清楚圓心角、路徑夾角、行走轉角。圓心角是圓心處的角，路徑夾角是兩段線在頂點所夾的角，行走轉角則是前進方向的改變；三者不能直接互換。線段交叉處若只是直行通過，也不算轉彎。 五、三角形內心與外心的位置 內心是三條內角平分線的交點，也是內切圓的圓心；任何三角形的內心都在三角形內部。 外心是三邊垂直平分線的交點，也是外接圓的圓心。外心的位置取決於三角形的形狀： 三角形種類外心位置 銳角三角形三角形內部 直角三角形斜邊中點 鈍角三角形三角形外部 因此，「外心一定在外部」是錯誤敘述。名稱中的「外」是指外接圓，不代表圓心必定位於三角形外。 常考陷阱 「邊數越多，外角和越大」：把內角和的規律誤套到外角和。凸多邊形不論邊數多少，外角和都是360°。 「正八邊形與正九邊形的外角和相差5°」：5°是單一外角的差，外角和的差應為0°。 「六邊形比五邊形多一個頂點，所以多轉一些」：各繞一圈都轉360°，相差0°；180°是兩者內角和的差，不是轉角的差。 「三角形外角和小於四邊形外角和」：兩者皆為360°；只有內角和是三角形小於四邊形。 「行走時直接加總圖上內角」：凸頂點應先用180°減內角，得到真正轉角，再相加。 「沒有走完一圈，也直接答360°」：部分路徑只計算實際發生的轉向，可用360°扣掉未經過頂點的轉角；起點與終點不可任意補角。 「只要封閉，總轉角就是360°」：自我交叉的星形路徑可能累積旋轉兩圈或更多圈，須檢查連接順序。 「星形轉角用圓心角40°×9＝360°」或「用頂點夾角100°×9＝900°」：前者忽略每次跨兩格，後者把夾角當轉角；正確應為80°×9＝720°。 「經過交點就多算一次轉角」：判斷關鍵是有沒有改變方向；直行通過交點不產生轉角。 「內心、外心都由名稱判斷位置」：內心固定在內部；外心須依銳角、直角、鈍角分類。 記憶口訣 「內和減二乘一八，凸形外和三六〇；單角三六〇除邊數，行走轉角看方向。」 「星形先看跨幾格，跨幾格就轉幾圈；內心在內，外心看形。」