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學習重點 掌握解題表徵由具體到抽象的順序：實物操作→圖像表徵→口語加法累加→乘法符號運算。 判斷抽象程度要看學生實際使用的解題方式，不能因為答案相同，就認為思考層次相同。 理解乘法的等量群組意義，連結「每組多少、共有幾組、合計多少」與重複加法、乘法算式。 掌握文字公式的教學步驟：具體數值算式→用文字取代算式中的數值→整理成以所求量表示的通用公式。 知道文字公式是代數學習帶未知數算式的前置經驗，重點在理解數量關係與一般性。 核心觀念 一、由具體到抽象：判斷的是解題依據 數學表徵是用來呈現數量與關係的方式。同一個問題，可以透過拿取物件、畫圖、口頭計算或列式求解。判斷具體與抽象，應看學生依靠什麼來表示數量、如何求得結果，不能只看答案是否正確，也不能只看作答速度。 表徵層次解題特徵判斷關鍵 實物操作（最具體）拿取積木、籌碼等物件，分組排列，再逐一點數。數量依附在可拿取、移動的實體物件上。 圖像表徵畫圓圈、點或其他記號代表數量，再數出總數。用平面圖像替代實物，仍逐一對應與點數。 口語加法累加說出先合併兩組的數量，再加上下一組。不再點數物件或圖形，而以數及加法關係計算。 乘法符號運算（最抽象）直接以乘法算式表示等量群組，求出總數。將多組相同數量濃縮成一個乘法關係。 實物與圖像都採用「一個一個數」的策略，但兩者並非同一層次：實物可以實際操作，圖像則是實物的替代表徵，所以實物排在圖像之前。口語累加雖然沒有寫出算式，卻已經在處理數與運算關係，比逐一點數圖像更抽象。 二、從等量群組連結加法與乘法 乘法情境的核心是每一組的數量相同。以「每枝筆5元，買3枝要多少元」為例： 拿出5個積木代表5元，擺出3堆，逐一點數——實物操作。 畫5個圈代表5元，重複畫3次，逐一點數——圖像表徵。 說出「5＋5是10，10＋5是15」——口語加法累加。 直接寫5×3＝15——乘法符號運算。 四種方法呈現的是同一個數量關係，只是依賴具體物的程度不同，由具體到抽象的順序就是上面的1→2→3→4。乘法算式中，5表示每一份的量（每枝5元），3表示有幾份（3枝），5×3就是把3個5累加的結果濃縮成一個算式。 教師若安排由具體到抽象的發表與討論，應依序邀請使用積木、畫圖、口語累加、乘法算式的學生上台。討論時可追問：「每一堆和圖上的哪一組相對應？」「加法中的每個5代表什麼？」「乘法中的5和3各表示什麼？」讓學生看見不同方法之間的連結。 三、文字公式：從特殊數值走向一般關係 用文字表示數學公式，可以讓學生開始體認單一公式可以代表許多特殊算式。文字公式中的「邊長」「周長」都和學習活動直接連結、意義清楚，比一般未知數具體，適合小學生學習，也是日後學習含未知數算式的前置經驗。 以布題「邊長6公分的正方形周長是多少公分？」為例，合適的教學步驟如下： 教學步驟表徵示例說明 1. 具體數值算式6×4＝24（或6＋6＋6＋6＝24），周長24公分依四邊等長的性質，先算出特定正方形的周長。 2. 用文字取代數值邊長×4＝正方形周長保留剛才的計算順序，把6換成「邊長」、24換成「正方形周長」，說明算式中每個數的意義。 3. 整理成通用公式正方形周長＝邊長×4以所求的量為主寫成公式，表達「要求周長，就把邊長乘以4」，可套用到任何邊長。 第2步是由算式過渡到公式的橋梁：學生先看到「我剛剛算的6×4＝24，就是邊長×4＝周長」；第3步再把關係整理成一般公式的寫法。之後可改變邊長（例如7公分、10公分），讓學生確認同一個公式能產生許多特殊算式。 四、分清楚數值算式與文字公式 「6×4＝24」雖然使用運算符號，仍只表示特定數值的計算；「邊長×4＝正方形周長」「正方形周長＝邊長×4」則用數量名稱表達一般關係。判斷是否一般化，關鍵是是否超越特定數值，而不是有沒有出現乘號或等號。公式中的4仍是固定數字，它來自正方形有四條等長的邊；可變的是邊長。 常考陷阱 把圖畫排在實物之前：畫出的記號已是替代物件的表徵。由具體到抽象應先實物、再圖像。 把口語累加排在圖像之前：表達媒介不等於思考層次。說出「5＋5是10，10＋5是15」已在運用加法，比逐一點數圖像更抽象。 把乘法算式排最前：寫得短、算得快不代表具體；乘法濃縮了等量群組關係，在這組策略中最抽象，應排最後。 看到題目是乘法情境，就認為學生都用乘法思考：排序要看每位學生實際的策略。 文字公式教學一開始就給公式：應先讓學生解決具體數值問題，再用文字取代數值，最後整理成通用公式，不能先背公式再代數字。 把含數字4的公式當成特殊算式：判斷通用與否看邊長能否代入不同數值，4本來就是公式的一部分。 混淆周長與面積：正方形周長是邊長×4，單位是公分；邊長×邊長求的是面積，單位是平方公分。 記憶口訣 「先拿、再畫、再累加，最後乘法來表達。」拿是實物操作（積木），畫是圖像表徵（圈圈），累加是口語加法，乘法統整等量群組。 「先算數字式，再把文字替，最後寫公式。」6×4＝24 → 邊長×4＝正方形周長 → 正方形周長＝邊長×4。