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學習重點 能從矩形對邊平行、四角為直角，以及交點形成的對頂角，找出相似三角形（含「A 字型」與「X 字型（沙漏型）」）。 掌握平行線截比例線段定理，正確區分「分段比」與「部分對全長的比」。 依對應邊列比例式，含未知數時用交叉相乘解出 x，再換算題目所求的線段長度。 處理矩形撞球檯的路徑時，能用「入射角＝反射角」找出相似直角三角形，配合矩形邊長加減求解。 核心觀念 一、先找平行與等角，再判斷三角形相似 看到矩形、三角形內的平行線或交叉線段，先不要急著把數字相除。應先標出已知的平行線，再利用平行線的同位角相等、內錯角相等，以及兩直線相交的對頂角相等，確認兩個三角形有兩組對應角相等，即可依 AA 相似性質判定相似。 常見的兩種圖形如下： 圖形條件相似關係與比例找角依據 A 字型△ABC 中，D 在 AB 上、E 在 AC 上，DE ∥ BC△ADE ～ △ABCAD／AB＝AE／AC＝DE／BC共用頂角 A、同位角相等 X 字型（沙漏型）AB ∥ CD，AD 與 BC 相交於 E△EAB ～ △EDCEA／ED＝EB／EC＝AB／DC對頂角相等、內錯角相等 列式前先依對應順序寫出三角形名稱，避免只憑圖形左右位置配對。X 字型的兩個三角形是「翻轉」的，A 的對應點是 D，B 的對應點是 C，對應邊要依等角的位置判斷。 二、平行線截比例：同一組對應線段必須一致 若三條互相平行的直線，分別與兩條截線交於 A、B、C 及 D、E、F，且兩條截線上的點依序對應，則： AB／BC＝DE／EF。 也可以寫成 AB／DE＝BC／EF。兩種寫法都成立，關鍵是分子、分母所代表的位置必須一致：同一條截線上的「上段比下段」，對應另一條截線上的「上段比下段」。截線可以傾斜，也可以在延長後相交；只要平行與對應關係正確，就能使用。 由於 AC＝AB＋BC、DF＝DE＋EF，因此也有 AB／AC＝DE／DF，以及 BC／AC＝EF／DF。這些都是將同一比例改寫成部分與全長的關係。 三、分段比與全長比：先確認端點，再列式 沿用 DE ∥ BC 的三角形配置，可以同時得到三種常用關係： 比較方式正確關係使用時機 前段對後段AD／DB＝AE／EC兩側都給分段長度時 部分對全長AD／AB＝AE／AC比較小三角形與大三角形時 小底對大底DE／BC＝AD／AB已知底邊與側邊的對應資料時 例如 AD：DB＝3：5，代表 AB 共占 8 份，所以 AD：AB＝3：8，DE：BC 也是 3：8。分段比為 3：5，不表示小三角形與大三角形的相似比也是 3：5。題目給的是哪一段，應依線段兩端的字母辨認。 四、含未知數的比例式：先配對，再交叉相乘 遇到 5x、9x－8 等代數式，先把它們當作完整的線段長度，不要拆開配對。步驟如下： 確認哪兩條線段在同一條截線上、哪兩條在另一條截線上。 依「同位置對同位置」列出比例式，例如 a／b＝5x／（9x－8）。 交叉相乘：a（9x－8）＝5bx，展開為 9ax－8a＝5bx，移項求 x。 代回檢查：每條含 x 的線段都須為正，例如 9x－8＞0，即 x＞8／9。 舉例練習：若平行線截出一條截線上的兩段為 2、3，另一條截線上對應的兩段為 x＋1、2x，則 2／3＝（x＋1）／（2x），交叉相乘 4x＝3x＋3，得 x＝3；代回兩段為 4、6，比為 2：3，正確。 注意：若把其中一組比例倒過來（寫成 2／3＝2x／（x＋1)），會得到完全不同的 x，而且常常剛好是錯誤選項之一。所以配對位置比計算更重要。最後再看清楚題目問的是 x、某一線段，還是兩線段的比值；若問線段長，還要再代入運算。 五、矩形中的線段：相似比例配合邊長加減 矩形的兩組對邊分別平行且等長，四個角都是直角。因此，一條斜線與矩形邊界形成的三角形，常可利用直角及另一組等角判定相似。若兩條線段在矩形內相交，交點兩側常形成 X 字型相似三角形（對頂角相等＋矩形對邊平行產生的內錯角相等）。 計算時要分清楚「整條矩形邊」與「邊上的其中一段」。若 F 在 AB 上，則 AB＝AF＋FB；已求得 AF，另一段就是 FB＝AB－AF。矩形對邊相等可用來替換整邊長度，不能直接推論對邊上任意兩段也相等。 六、矩形撞球檯：反射等角建立相似直角三角形 處理連續碰撞路徑（例如 E → F → G → D），先標出每個碰撞點所在的邊，再使用題目給定的角度條件。理想反射時入射角等於反射角；因檯邊與法線垂直，入射線、反射線各自與檯邊所夾的銳角也相等。 每個碰撞點兩側各有一個以檯邊為一股的直角三角形（直角來自矩形的角），再加上一組反射等角，兩個直角三角形 AA 相似。列比例時把「沿著同一條檯邊的股」互相對應、「垂直於該檯邊的股」互相對應。 舉例：球從 AD 邊上的 E 點打到 AB 邊上的 F 點，再反彈到 BC 邊上的 G 點。因 ∠AFE＝∠BFG，且 ∠A＝∠B＝90°，所以 △EAF ～ △GBF，得 AE／BG＝AF／BF。若 AE＝3、AF＝4、AB＝12，則 BF＝12－4＝8，BG＝3×8÷4＝6。下一次碰撞再用同樣方法，並以整邊減去已知部分求下一段。 需要求路徑長時，在各直角三角形中用畢氏定理求斜邊再相加；上例中 EF＝5、FG＝10。也可將檯面作鏡射，把折線路徑展成直線，再用相似三角形求交點位置。 常考陷阱 把看起來平行當成已知平行：圖形可能未按比例繪製，必須根據平行符號、文字條件或矩形性質判斷。 分段比混配全長比：例如把 AD／DB 寫成 AE／AC。判斷關鍵是兩邊都要採用相同的「前段對後段」或「部分對全長」。 底邊用分段比：DE／BC 應等於 AD／AB，不是 AD／DB。只要比例中出現平行的底邊，就要用「部分對全長」。 只把一邊的比倒過來：若 a／b＝c／d，則 b／a＝d／c；不能只交換其中一組的分子、分母，否則解出的 x 常是錯誤選項。 X 字型配錯對應點：沙漏型兩三角形方向相反，要用對頂角與內錯角找對應頂點，不能照左右位置配對。 誤認相似就是全等：相似比不一定等於 1，不能直接令兩條對應邊等長。 誤認交點一定平分線段：一般線段在矩形內相交，不代表互相平分。矩形兩條對角線才互相平分。 交叉相乘漏括號：遇到 9x－8，要將整個式子乘上另一邊，不能只乘 9x 而漏掉常數項。 求得 x 就直接作答：應核對所求量，檢查是否還要代入、相加或用全長相減；負長度或超過所在整邊的結果都應重新檢查。 把撞球路徑視為等長或碰撞點當中點：反射角相等不能推出各段路徑等長，也不能推出碰撞點平分檯邊，仍須透過相似比例計算。 記憶口訣 先找平行，再配等角；對應排好，比例才牢。 分段比分段，全長比全長；底邊要配全長，解完代回看端點。 撞球反彈角相等，兩側直角三角形必相似。