平行線截角與角平分線

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建立於 2026年11月10日

學習重點 以「兩直線內外、截線同側或異側、交點相對位置」辨識同位角、內錯角與同側內角，不靠角的編號或圖形朝向判斷。 掌握平行線的截角性質：同位角相等、內錯角相等、同側內角互補，並區分性質與平行判定的推論方向。 能以鄰補角為橋梁，說明「兩直線平行」與「同側內角和為180°」如何互相推導。 運用角平分線將互補的兩角各除以2，求出同側內角平分線所成的直角。 分清圖上內角與行走時的轉角，依各轉折點的實際方向，計算累積轉角。 核心觀念 一、先認位置，再用平行條件 平面上兩條不同直線被另一條直線所截，後者稱為截線。截線與兩直線產生兩個交點，每個交點周圍各有四個角，共八個角。辨識角的位置關係時，先找出兩個交點，再辨認兩直線之間的內部區域，以及截線的兩側。圖形即使旋轉、傾斜，角的位置關係仍不改變。 同位角、內錯角、同側內角的兩角，必須分屬兩個不同交點。同一交點的兩角只會是對頂角或鄰補角。 角的關係位置判斷兩直線平行時 同位角分別位於兩個交點的相對應位置，且在截線同側；一角在兩直線內部，另一角在外部兩角相等 內錯角都在兩直線內部，分居截線兩側兩角相等 同側內角都在兩直線內部，位於截線同側兩角和為180° 外錯角都在兩直線外部，分居截線兩側兩角相等 同側外角都在兩直線外部，位於截線同側兩角和為180° 角的位置名稱不以兩直線平行為前提。即使尚未知道兩直線是否平行，仍可依位置指出哪兩角是同位角、內錯角或同側內角；但此時不能直接套用相等或互補的結論。 同位角可用「把一個交點的四個角位置，平移到另一個交點」來辨認：平移後能重疊的兩角才是同位角。內錯角與同側內角則先確認兩角都在內部，再檢查是否分居截線兩側。角的編號只是標記，沒有固定的配對規則，每次都要回到圖上逐一確認。 二、平行線截角：相等與互補要分清楚 兩平行線被同一直線所截時，同位角相等、內錯角相等，而同側內角互補。若一組同側內角為α、β，則α＋β＝180°，因此已知其中一角，就可用180°減去該角求出另一角。 另外，同一交點處的對頂角相等；兩角共用一邊，另兩邊互為反向射線時，構成鄰補角，兩角和為180°。這兩種關係不需要平行條件，常用來銜接不同交點的角。 解題時可依序標記：先寫同一交點的對頂角、鄰補角關係，再利用平行線把角度關係傳到另一交點。如此較不容易把「相等」與「和為180°」混用。 三、如何說明平行線的同側內角互補 設α、β是一組同側內角，且已知兩直線平行。在β所在的交點，取β的鄰補角γ，使γ與α為一組內錯角。 因兩直線平行，內錯角相等，所以α＝γ。 因β與γ為鄰補角，所以β＋γ＝180°。 將γ換成α，即得α＋β＝180°。 申論作答的關鍵是交代輔助角的位置、角相等的依據，以及角和為180°的依據。也可選擇適當的同位角完成證明（例如取α的同位角，再與β構成鄰補角），但必須明確說出所用的角度關係。 四、如何由同側內角互補判定平行 反過來，若已知一組同側內角α、β滿足α＋β＝180°，可證明兩直線平行。仍在β所在的交點取其鄰補角γ，使γ與α為一組內錯角。 β與γ為鄰補角，所以β＋γ＝180°。 由α＋β＝180°與γ＋β＝180°，兩式同減β，得α＝γ。 α與γ為內錯角，依「內錯角相等，兩直線平行」的判定，得到兩直線平行。 證明方向不可倒置。已知平行時，使用平行線的性質；要證明平行時，使用平行的判定。不能在尚未證明平行前，就以「因為平行，所以內錯角相等」作為理由。 五、同側內角平分線為何形成直角 角平分線把一個角分成兩個相等的角。若兩平行線的同側內角為α、β，則α＋β＝180°，各自平分後有： α／2＋β／2＝90°。 在兩條內角平分線交於兩平行線之間、並與截線圍成三角形的配置中，三角形在截線兩端的角分別為α／2、β／2。因此交點處的角為180°－（α／2＋β／2）＝90°，兩條角平分線互相垂直。 若圖上用兩對相等的角表示角平分線（如∠1＝∠2、∠3＝∠4），應先把每一對小角合成原來的大角，即2∠1＋2∠3＝180°，得∠1＋∠3＝90°，再由三角形內角和求出夾角為90°。不能只看到兩條角平分線，就認定它們垂直。形成直角的關鍵是所平分的兩角互補，且須確認題目所指的射線與夾角。 六、路徑轉角：先看前進方向，再算轉了多少 行走的轉角，是到達轉折點前的前進方向，改成離開轉折點後的前進方向所轉過的角。若圖上標的是「由轉折點指回前一點的射線」與「指向下一點的射線」所夾的內角θ，則一般較小轉角為： 轉角＝180°－θ。 例如某一轉折點的上述內角為80°，該處實際轉角為100°。若利用平行線關係（如內錯角相等）確認另一轉折點的內角也為80°，且路徑只有這兩處轉彎，則累積轉角為100°＋100°＝200°。 計算時先沿箭頭逐段判讀，必要時在轉折點想像延長原來的前進方向，再量出它與下一段路徑的夾角。題目問「共轉多少度」，通常加總各次實際轉角的大小；若明確要求有方向的轉角或最後方向的改變，才依約定處理左右轉的正負。累積轉角可以大於180°，不可只比較起點與終點的方向。 常考陷阱 把截線同側的兩角都叫同位角：同側只是部分條件，還須確認兩角在兩交點的相對應位置，且一內一外。若兩角都在內部且位於截線同側，應判為同側內角；若兩角都在外部、分居兩側，則是外錯角，不是同位角。 只憑編號猜配對：錯誤選項常把外錯角、同側外角或同一交點的角說成同位角或內錯角，務必回到圖上檢查「內外」與「同側異側」。 把所有內部角都叫內錯角：「內」表示都在兩直線之間，「錯」表示分居截線兩側，兩個條件缺一不可。 看到角度相等，就說是內錯角：角的名稱由位置決定；角度相等可能來自對頂角、同位角或角平分線等不同原因。 認為同側內角必定相等：平行時保證的是互補。只有兩角恰好都是90°時，才同時相等。 把互補寫成互餘：互補是兩角和180°，互餘是兩角和90°。互補兩角各取一半，所得兩角才互餘，因此兩內角平分線夾角為90°，不是60°或120°。 任意兩角和180°就判定平行：須確認它們確實是同一截線所形成的一組同側內角，不能省略位置條件。 申論只寫結論或循環論證：題目要求說明時，宜用鄰補角銜接同位角或內錯角，寫出等量代換與判定依據。 把路徑內角直接相加：內角80°的兩處轉彎，若誤加內角會得160°；應先換成實際轉角100°再相加。也要檢查箭頭、轉折次數及左右轉方向。 記憶口訣 辨位置：同位看對應，內錯分兩側，同側內角在同側。 記性質：平行同位等，內錯也相等；同側兩內角，相加一百八。 角平分：互補各取半，兩半和九十。 算轉彎：沿箭頭、延前進，內角補角才是轉；逐次相加算總量。