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學習重點 認識弦、直徑與弦心距，掌握「直徑是圓中最長的弦」。 能用「固定圓周上一點，比較它到其他圓周點的距離」的活動，說明直徑與其他弦的長短關係。 掌握同一圓中「等弦等距、等距等弦」以及「弦愈長，弦心距愈短」。 把鐘擺的擺長看成半徑，利用等邊三角形、等腰三角形與圓周角求角度。 核心觀念 一、弦、直徑與弦心距的定義 弦是連接圓周上兩點的線段。直徑是通過圓心的弦，長度等於半徑的兩倍。若以 O 表示圓心、r 表示半徑，直徑長就是 2r。 弦心距是圓心到弦的垂直距離。設圓心 O 向弦 PQ 作垂線，垂足為 M，則 OM 的長度才是弦心距。圓心到弦上任意一點的連線，若沒有垂直於弦，就不能稱為弦心距。 圓心向弦所作的垂線會平分該弦，所以 PM＝MQ＝PQ／2。這使半徑、半弦長與弦心距形成一個直角三角形，是比較弦長的主要依據。 二、直徑是圓中最長的弦 同一圓中，任何弦的長度都不超過 2r；只有通過圓心的弦，長度才等於 2r。因此，直徑是圓中最長的弦，所有非直徑的弦都短於直徑。圓中可以有許多條直徑，而且它們都一樣長。 理由可用三角形邊長關係說明。若弦 PQ 不通過圓心，連接 OP、OQ，可形成三角形 OPQ。由「三角形兩邊和大於第三邊」，得 PQ＜OP＋OQ＝2r。若 P、O、Q 共線且 O 在兩端點之間，則 PQ＝OP＋OQ＝2r，此時 PQ 就是直徑。 把直尺的刻度 0 固定在圓周上的 A 點，讓另一端沿圓周移動，量到的都是以 A 為端點的弦。當另一端位於 A 的對徑點 B 時，AB 最長；A 到圓周上其他點的線段都比 AB 短。 若題目要求說明 AB 與「A 點到圓周上其他點的線段」的長度關係，可答：AB 比 A 點到圓周上其他任何點的線段都長，AB 是以 A 為端點的所有弦中最長的一條。 要讓學生由測量活動理解 AB 為何是直徑，需具備的關鍵先備知識是：直徑是圓中最長的弦（直徑是通過圓心的弦，其他弦都比直徑短）。完整說明可寫成：「AB 是以 A 為端點的最長弦，而圓中最長的弦就是直徑，所以 AB 通過圓心，是直徑。」 實際測量少數線段，可以協助學生觀察規律。但只因 AB 比幾條受測線段長，並不能嚴格證明它是直徑；還需要「最長弦即直徑」的性質，或「AB 通過圓心」的幾何依據。 三、弦長與弦心距的關係 在同一圓中，半徑固定，弦長與弦心距有以下關係： 比較條件正確結論 兩弦等長兩弦的弦心距相等 兩弦的弦心距相等兩弦等長 一條弦較長它的弦心距較短 一條弦的弦心距較短它的弦長較長 前兩項可合記為「等弦等距，等距等弦」，兩個方向都成立。後兩項表示：弦愈靠近圓心，長度愈長；弦愈遠離圓心，長度愈短。 設弦長為 L、弦心距為 d，由半徑、半弦長與弦心距形成的直角三角形，可得： r²＝d²＋（L／2）² 半徑 r 固定時，d 愈小，半弦長 L／2 就愈大。當 d＝0 時，弦通過圓心，L＝2r，正好是最長的弦，也就是直徑。這個極端情形可以用來快速檢查長短關係有沒有記反。 四、鐘擺：由半徑與弦長判斷角度 設鐘擺的固定支點為 O，擺錘在 B、C 兩位置之間來回擺動，最低位置為 A。擺長不變，所以擺錘走的路徑是以 O 為圓心的一段圓弧，OA、OB、OC 都是同一圓的半徑；BC 則是兩個擺錘位置之間的弦。 若擺長為 12，且 BC＝12，便有 OB＝OC＝BC＝12，因此三角形 OBC 是等邊三角形，∠BOC＝60°。判斷依據是三邊等長，不能只看圖形外觀。 接著要分清楚所求的角：∠BOC 的頂點在支點 O，是圓心角；∠BAC 的頂點在圓周上的 A，是圓周角，兩者不能混用。 擺錘由 B 經過最低點 A 才到 C，所以 A 位於 B、C 之間的劣弧上。∠BAC 所對的是不含 A 的優弧 BC，此弧為 360°－60°＝300°，因此： ∠BAC＝300°÷2＝150° 也可用三角形驗算：不計空氣阻力時，B、C 兩點等高，左右對稱，OA 鉛直且平分 ∠BOC，所以 ∠BOA＝∠AOC＝30°。三角形 OAB 中，OA＝OB，是等腰三角形，底角 ∠OAB＝（180°－30°）÷2＝75°；同理 ∠OAC＝75°。相加得 ∠BAC＝75°＋75°＝150°。 一般而言，圓周角的大小取決於頂點在哪一段弧上。若頂點位於優弧 BC 上，它所對的才是 60° 的劣弧，角度為 30°。鐘擺題中的最低點一定在擺動路徑（劣弧）上，所以答案是 150°。 常考陷阱 「弦心距愈短的弦，弦長愈短」：長短關係寫反。同一圓中，弦心距愈短，弦愈長；直徑的弦心距為 0，卻是最長的弦。含有這種敘述的選項要排除。 只記得等弦等距，忽略反向也成立：在同一圓中，弦心距相等也能推出弦長相等，兩個方向都正確。 省略「同一圓」的條件：不同大小的圓，不能只比較弦心距就判斷弦長。等圓也適用上述關係，但必須確定半徑相同。 把半徑當成弦心距：圓心到圓周上的點是半徑；圓心到弦的垂直距離才是弦心距。 「直徑比所有弦都長」：說法不夠精確，因為直徑本身也是弦，而且其他直徑與它等長。應寫「直徑不短於任何弦，且長於所有非直徑的弦」。 把量到最長當成完整證明：測量活動的核心是連結「最長弦」與「直徑」。作答時要寫出「直徑是圓中最長的弦」這項依據，不能只列測量結果。 看到 60° 就直接除以二得 30°：圓周角對應的是不含頂點的那段弧。頂點 A 在劣弧上時，要先求出優弧 300°，再除以二得 150°。 把 ∠BAC 當成 ∠BOC：60° 是圓心角 ∠BOC，題目問的是頂點在 A 的 ∠BAC，要看清角的頂點。 把弦長當成弧長：BC 是兩點間的直線距離，沿圓周走過的長度才是弧長，兩者不可互換。 記憶口訣 「直徑最長、過圓心；等弦等距、可逆行；弦長距短，弦短距長。」 「擺長當半徑，弦等半徑成等邊；圓周角看對弧，先辨位置再折半。」