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學習重點 掌握同解的意義：方程式變形前後，所有能使等式成立的未知數值完全相同，才是等價變形。 正確消去分母：選取各分母的最小公倍數，將等號兩側的每一項都乘上同一個非零數。 熟練分配律：括號外的乘數必須乘到括號內每一項，不能只處理含有未知數的項。 辨認負號的作用範圍：減去整個括號，等同於將括號內每一項乘以 −1；括號內原本的減號也要改變。 建立檢查順序：先看各項乘數，再看括號展開，最後整理同類項，必要時求解並代回驗算。 核心觀念 一、同解與等量公理：等式兩側必須同步處理 方程式的「解」，是代入未知數後能使等號左右相等的數值。「與原方程式有相同的解」，表示兩式的解集合完全相同。兩式外觀看起來相近並不代表同解，左右兩側各自保留相同的數字也不代表同解。 一元一次方程式可以利用等量公理進行等價變形。等號兩側同加或同減一個數、同乘一個非零數，或同除以一個非零數，都能維持同解。乘除時須限制為非零數，因為兩側同乘 0 可能將原本有限制的方程式變成 0＝0，而除以 0 沒有意義。 本單元的判斷重點，是觀察「消去分母、展開括號、整理負號」的每一步是否正確。只要每一步都維持等價，最後得到的方程式便與原式同解，不一定要先把未知數求出來。 二、消去分母：同乘公倍數，每一項都要處理 遇到含分數的方程式，可先找出各分母的最小公倍數，再將等號兩側同乘該數。使用其他非零公倍數也能消去分母，但最小公倍數通常使計算較簡潔。 例如，若分母為 4 與 3，最小公倍數為 12。兩側同乘 12 後，分母為 4 的分式，整個分子乘以 3；分母為 3 的分式，整個分子乘以 4。分子若含有加減，應先用括號保留完整分子，再進行展開。 以本單元的典型方程式 (3x＋2)／4 − (x−3)／3＝1 為例，兩側同乘 12，應得到 3(3x＋2) − 4(x−3)＝12。這裡的 3 與 4，分別來自 12÷4 與 12÷3。右側的 1 也必須乘以 12，所以右側是 12，不是 1。 要特別注意，約分是處理乘法因子，不能跨越加減號任意消去。例如 (3x＋2)／4 中，不能只拿分子裡的 2 與分母 4 約分，卻讓 3x 維持原狀。 三、分配律：外面的乘數要乘遍括號內各項 分配律為 a(b＋c)＝ab＋ac，以及 a(b−c)＝ab−ac。不論括號內是未知數項或常數項，都要乘上括號外的數。 例如 3(3x＋2)＝9x＋6。它不能寫成 9x＋2，也不能寫成 3x＋6，因為這兩種寫法都只把乘數分配給其中一項，無法維持原來的數值。 若括號外有負號，建議把符號和數字合在一起視為乘數，例如將 −4(x−3) 看成 (−4)×(x−3)。如此便能逐項計算：第一項為 (−4)×x＝−4x，第二項為 (−4)×(−3)＝＋12。 四、負號整理：減去整體，括號內各項都要變號 括號前的負號表示乘以 −1。因此 −(a＋b)＝−a−b，而 −(a−b)＝−a＋b。去括號時，不能只改變第一項的符號。 原來的形式正確展開判斷關鍵 ＋4(x−3)4x−12正數乘負數，常數項為負 −4(x＋3)−4x−12負的乘數分配到兩項 −4(x−3)−4x＋12常數部分為負乘負，結果為正 −(4x−12)−4x＋12減去整個括號，兩項都變號 因此，展開後的常數項究竟是「＋12」或「−12」，必須回到括號內外的符號判斷。不能因為原式有減號，就直接認定展開後仍然是減號。 五、整理與驗算：先展開，再合併同類項 典型方程式 (3x＋2)／4 − (x−3)／3＝1 的完整變形如下： 兩側同乘 12：3(3x＋2) − 4(x−3)＝12。 展開括號：9x＋6−4x＋12＝12。 合併同類項：5x＋18＝12。 兩側同減 18：5x＝−6，所以 x＝−6／5。 代回原式驗算。左側第一個分式為 (3×(−6／5)＋2)／4＝(−8／5)／4＝−2／5。第二個分式為 (−6／5−3)／3＝(−21／5)／3＝−7／5。兩者相減得 −2／5−(−7／5)＝1，與右側相等，因此解正確。 相較之下，若誤寫成 9x＋6−4x−12＝12，便會整理成 5x−6＝12，解為 x＝18／5，與原式的解不同。這說明一個常數項的正負號錯誤，就可能改變方程式的解。 驗算時，可將求出的數值代回原方程式，檢查左右兩側是否相等。若只能看到變形後的式子，就只能檢查該式本身的運算。要確認它與原式同解，仍須核對原式，或確認每一步都是等價變形。 常考陷阱 只將左側乘上公倍數：消去左側分母後，右側卻仍保留 1。兩側必須同乘；若同乘 12，右側就應成為 12。 漏乘某一個分式或常數項：同乘公倍數是作用於整個等式，不是只處理看起來需要約分的那一項。應逐項確認是否都有乘到。 分母消去後，分子只乘一部分：例如把 3(3x＋2) 寫成 9x＋2。只要分子含加減，就先保留括號，避免漏乘常數項。 乘數配錯分式：分母 4 的分式要乘 3，分母 3 的分式要乘 4。若互換成 4(3x＋2) 與 3(x−3)，就不是同乘 12 的結果。 減去分式時，遺失整體負號：若原本是減去一個分式，消去分母後仍是減去整個分子所形成的乘積，不能擅自改成相加。 把 −4(x−3) 寫成 −4x−12：這是將括號內的減號直接照抄，也是最常見的錯誤選項「9x＋6−4x−12＝12」。應計算 (−4)×(−3)，所以常數項是＋12，正確為 9x＋6−4x＋12＝12。 誤以為負號只管第一項：−(a−b) 不能寫成 −a−b；括號前的負號作用於括號內全部項。 跨等號與去括號混為一談：移項變號來自等號兩側同加或同減同一項，去括號變號則來自分配律。兩種操作應分開完成，以降低符號錯誤。 只憑外觀判斷同解：排列順序不同的式子仍可能同解，例如 9x−4x＋18＝12 與 5x＋18＝12。應核對運算關係，而非只看字面是否相同。 記憶口訣 去分母，兩邊乘；有幾項，乘幾項。括號外，乘進去；前有負，項項顧。負乘負，要得正；展開後，再合併。