根式乘除與最簡形式

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建立於 2026年11月10日

學習重點 掌握根式乘除的適用條件，能將根號合併運算，再提出完全平方因數，化成最簡根式。 依「根號內是整數、沒有大於 1 的完全平方因數、分母沒有根式」判別最簡根式。 遇到分數或小數被開方數，能改寫成分數並化簡；遇到分母有根式，能完成有理化。 利用平方與平方根的互逆關係，計算非負小數的算術平方根，並以平方驗算。 核心觀念 一、先分清楚平方與算術平方根 符號 √a 表示非負數 a 的算術平方根，也就是「平方後等於 a 的非負數」。例如 0.5 × 0.5＝0.25，所以 √0.25＝0.5。 必須區分「求 √a」與「解平方方程式」：√9＝3；但 x²＝9 的解是 x＝±3。根號本身指定非負值，不必另加正負號。 對 a ≥ 0，有 (√a)²＝a；對任意實數 x，則有 √(x²)＝|x|。因此，將平方因數提出根號時，要留意提出的數應為非負數。 二、根號乘法：根號外相乘，根號內相乘 當 a ≥ 0、b ≥ 0 時，可以使用 √a × √b＝√(ab)。若根號外還有係數，就將係數相乘、被開方數相乘，即 m√a × n√b＝mn√(ab)。例如： 2√3 × 3√6＝6√18＝6 × 3√2＝18√2。 運算後仍要檢查根號內是否有完全平方因數。以上算到 6√18，雖然數值正確，卻尚未化成最簡形式，因為 18＝9 × 2，還能提出 3，並與外面的係數 6 相乘。 也可以先化簡再相乘。例如 √12 × √18＝2√3 × 3√2＝6√6。兩種順序結果相同；遇到數字較大時，先找平方因數，通常能減少計算量。 多個根號連乘時，可先把被開方數分解質因數，再把成對的因數提出。例如 √6 × √10 × √15＝√(2×3×2×5×3×5)＝2×3×5＝30。 三、根號除法與分母有理化 當 a ≥ 0、b > 0 時，有 √a ÷ √b＝√(a ÷ b)。分母必須不為 0，因此除法公式的條件比乘法多了 b > 0。例如 √48 ÷ √3＝√16＝4。有係數時，係數相除、被開方數相除：6√10 ÷ 2√5＝3√2。 若合併後根號內出現分數，仍應繼續整理。例如 √6 ÷ √4＝√(3/2)＝√6/2。最後的 √6/2，其根號內是整數，分母也沒有根式。 分母有理化是將分子、分母同乘適當的式子，消去分母中的根號。例如： 1/√3＝√3/3；√2/√5＝√10/5。 有理化必須分子與分母同乘相同的非零數，才能維持原值。分母的根號若能先化簡，先化簡會更省力，例如 2/√8＝2/(2√2)＝1/√2＝√2/2。完成後還要檢查是否能約分。 四、最簡根式的三項檢查 判別最簡根式時，不能只看式子長短，而應逐項確認以下條件。三項條件都符合，才算最簡根式；只要有一項不符，就不是最簡根式。 檢查項目尚未化簡的形式整理結果與理由 根號內是整數（不含分數、小數）√0.3、√(2/3)分別整理為 √30/10、√6/3，消去根號內的小數或分數。 根號內沒有大於 1 的完全平方因數√12、√45分別為 2√3、3√5，因為可提出 √4 或 √9。 分母沒有根式1/√2有理化為 √2/2。 常用的完全平方數有 4、9、16、25、36、49、64、81、100。例如 72＝36 × 2，所以 √72＝6√2。也可以先提出較小的平方因數，但必須繼續化簡到底。 被開方數不必是質數。例如 6＝2 × 3，雖然是合數，卻不含大於 1 的完全平方因數，因此 √6 已是最簡根式。判斷關鍵是「有沒有平方因數」，不是「能不能分解」。實務上可將被開方數分解質因數，若每個質因數都只出現一次（沒有成對），就不含平方因數。 五、小數平方根：先改分數，或直接平方驗算 小數開根號最穩定的方法，是先改寫成分母為 10、100、10000 等的分數，再利用分子、分母的平方根計算。例如： √0.0625＝√(625/10000)＝25/100＝0.25。 也可以從目標值反推：若要判斷哪個算術平方根等於 0.25，就先算 0.25²＝0.0625。因此，被開方數應為 0.0625。 小數乘法須正確計算位數：25 × 25＝625，而 0.25 的兩個因數各有兩位小數，所以乘積共有四位小數，即 0.0625。不能把它誤寫成 0.625 或 0.00625。換句話說，被開方數的小數位數是平方根小數位數的 2 倍；小數位數為奇數的數（如 0.5、0.625、0.05）都不是有限小數的平方。 還可用大小關係檢查：當 0 < a < 1 時，√a > a，而且 √a 仍小於 1。例如 0.0625 < 0.25 < 1，符合這項關係；這能排除部分錯誤，但不能取代精確計算。 常考陷阱 把乘法算成加法：√2 × √3＝√6，不是 √5。被開方數應相乘，不能相加。 把乘法公式套到加法：√a＋√b 一般不等於 √(a＋b)。例如 √4＋√9＝5，而 √13 並不等於 5。 只合併根號，沒有化簡到底：答案若仍含 √8、√12、√18 等形式，應繼續提出平方因數，再與外部係數相乘。選項中常同時出現「未化簡」與「已化簡」的等值寫法，要選化簡到底者。 提出平方因數時忘記開根號：√(9 × 2)＝3√2，不是 9√2。提出的是 9 的算術平方根。 係數與被開方數混在一起：2√3 × 3√6 中，2 與 3 是根號外係數相乘，3 與 6 是根號內相乘，不能把係數乘進根號內卻不平方。 把合數一律判為不合格：√6、√10、√15 都沒有大於 1 的完全平方因數，不能因為根號內是合數就排除。 只檢查被開方數，漏看分母與小數：即使根號內已無平方因數，只要根號內有分數、小數，或分母仍有根式，就不是最簡根式。 有理化只乘分母：1/√3 不能直接寫成 1/3；分子也要同乘 √3，正確結果是 √3/3。 把開根號當成除以 2：√0.5 不是 0.25。判斷根號值是否正確，應將候選值平方，確認能否回到被開方數。 小數點直接照搬：√0.0625＝0.25，不是 0.025，也不是 2.5；而 √0.625、√0.05 都不等於 0.25。用 0.25 × 0.25＝0.0625 即可確認。 替算術平方根加上 ±：√0.0625 的值只有 0.25；只有解 x²＝0.0625 時，才有正、負兩個解。 記憶口訣 「乘除可合根，平方往外提；根內留整數，分母去根式。」前兩句是運算步驟，後兩句連同「平方往外提」就是最簡根式的三項檢查。 「小數根號不猜點，平方回去驗一遍。」看到指定數值，先將它平方，再與被開方數核對；記得平方後小數位數加倍，最能避免小數點錯位。