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學習重點 掌握等腰梯形的邊、角、對角線與對稱軸性質，分清楚「等長」「互補」與「平分」的意義。 運用鳶形對角線互相垂直、其中一條平分另一條的性質，配合畢氏定理求線段長。 依「四個內角都是直角」辨識長方形，不以擺放方向、長寬比例或外觀判斷。 先確認梯形採「只有一組」或「有（至少）一組」對邊平行的定義，再判斷平行四邊形是否屬於梯形。 閱讀四邊形分類表時，逐項核對平行與等長條件，所舉圖形必須同時符合該類的全部條件。 核心觀念 一、等腰梯形：兩腰等長、同底兩角相等、對角線等長 以下以只有一組對邊平行的梯形說明。兩條平行邊稱為上底、下底，另外兩邊稱為腰；兩腰等長的梯形就是等腰梯形。設四邊形 ABCD 的頂點依序排列，AB∥CD，AD＝BC，則 AB、CD 是兩底，AD、BC 是兩腰。 項目等腰梯形的性質判斷重點 邊兩腰等長AD＝BC，不表示上下底等長。 同一底上的角兩底角相等∠A＝∠B，∠D＝∠C。 同一腰兩端的角兩角互補∠A＋∠D＝180°，∠B＋∠C＝180°。 相對的角對角互補∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°。 對角線兩條等長AC＝BD，但一般不互相平分，也不一定互相垂直。 對稱軸通過兩底中點的直線此直線垂直於兩底，將圖形分成左右對稱的兩部分。 內角和360°所有四邊形共同的性質，並非等腰梯形獨有。 「同一腰兩端的角互補」與「對角互補」是兩種不同敘述。前者由兩底平行（同側內角互補）即可推出，任何梯形都成立；後者還要用到等腰梯形同底兩角相等：∠A＋∠C＝∠A＋∠D＝180°，因此只有等腰梯形才保證對角互補，不能套用到所有梯形。 等腰梯形的對角線一般不會平分底角，不能因圖形左右對稱，就把對角線當成角平分線；真正的對稱軸是通過兩底中點的直線。（只有在特殊尺寸下，例如腰長恰與上底等長時，對角線才會恰好平分下底角，這不是等腰梯形的一般性質。） 判斷「等腰梯形性質敘述何者不正確」這類題目時，最常被改錯的就是對角線等長：把它寫成「對角線不等長」就是錯誤敘述。 二、鳶形：對角線互相垂直，其中一條平分另一條 鳶形又稱箏形，是具有兩雙鄰邊分別相等的四邊形。設 AB＝AD、CB＝CD，對角線 AC、BD 交於 E，則連接兩個「等邊交會頂點」的 AC，是判讀性質的關鍵。 互相垂直：AC⊥BD，因此交點 E 周圍形成四個直角。 平分另一條：AC 平分 BD，所以 BE＝DE＝BD÷2。 不保證互相平分：一般不能推出 AE＝CE，必須另有條件（例如四邊都相等的菱形）才能成立。 面積：因對角線互相垂直，鳶形面積＝兩條對角線乘積÷2。 為什麼 AC 會垂直平分 BD？因為 AB＝AD，表示 A 到 B、D 的距離相同；CB＝CD，表示 C 到 B、D 的距離也相同。因此 A、C 都位於 BD 的垂直平分線上，AC 就是這條垂直平分線。 求長度時，先把圖形拆成以 E 為直角頂點的直角三角形，再使用兩股平方和等於斜邊平方。例如在 △AEB 中，AB²＝AE²＋BE²；在 △CEB 中，CB²＝CE²＋BE²。鳶形的邊在這些直角三角形中是斜邊，對角線被分出的線段則是股。 遇到 10、24、26，可先辨認10²＋24²＝26²（100＋576＝676）這組直角三角形邊長關係，26 是斜邊、10 與 24 是兩股；它也是 5、12、13 的 2 倍。但仍要核對數字標示的是整條對角線、半條對角線或鳶形的邊。若 24 是被平分的整條對角線，每半段就是 12；若 24 已是一半，整條才是 48。不能只看數字就直接代入，必須先確定它們是否屬於同一個直角三角形。求出的半段長若要回答整條對角線，記得再乘以 2；求未知段長時，常用「斜邊² − 已知股²」再開根號。 三、長方形：看四個直角，不看擺放方式 長方形就是四個內角都是直角的四邊形。旋轉、斜放，或改變長寬比例，都不會改變內角。因此橫放、直放、斜放，以及狹長或接近正方形的圖形，只要四角都是 90°，就都是長方形。 長方形也稱矩形，具有兩組對邊分別平行且等長、兩條對角線等長且互相平分等性質。辨識圖形時，最直接的依據仍是四個直角；若已知四邊形有三個直角，利用內角和 360°，可推出剩下一角也是直角。 正方形也屬於長方形，因為正方形符合四角皆為直角的條件。四邊等長是它額外具備的性質，不會使它失去長方形的身分。反過來，長方形不一定四邊等長，因此長方形不一定是正方形。 四、梯形定義與四邊形分類：先讀懂「只有」與「有一組」 採用的定義平行對邊組數與平行四邊形的關係 只有一組對邊平行（排除式）恰好一組平行四邊形有兩組對邊平行，不是此定義下的梯形，兩者互斥。 有一組對邊平行（包含式）至少一組，可以有兩組平行四邊形是梯形的一種，長方形、菱形、正方形也包含在內。 回答「平行四邊形是否為梯形」時，要先寫出結論，再說明理由：依「只有一組對邊平行」的定義，平行四邊形有兩組對邊平行，不符合「只有一組」，所以不是梯形。 採包含式定義時，可理解為：正方形屬於長方形，也屬於菱形；長方形與菱形都屬於平行四邊形；平行四邊形又屬於梯形。採「只有一組」的定義時，平行四邊形與梯形則不具有包含關係。 在包含式定義下，可依「另一組對邊是否平行、是否等長」以及「平行的那組對邊是否等長」分類，常用例子如下： 條件組合可舉的例子 兩組對邊都平行（兩組對邊也都等長）平行四邊形、長方形、菱形、正方形 只有一組對邊平行，另一組對邊等長等腰梯形 只有一組對邊平行，另一組對邊不等長一般梯形、直角梯形 只有一組對邊平行，且這組平行對邊等長不可能存在（平行且等長的一組對邊會使圖形成為平行四邊形） 閱讀分類表應把每一欄條件合併判斷，看清楚表中所指的是哪一組對邊，以及要求相等或不相等，所舉圖形要同時滿足該格全部條件。兩個實用判準：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；同一組對邊既平行又等長的四邊形也是平行四邊形。若某格條件互相矛盾，應答「不存在」，不能任意舉出圖形。 常考陷阱 「等腰梯形的對角線不等長」：錯。兩條對角線等長是等腰梯形的重要性質。 「有對稱性，所以對角線會平分底角」：錯。對稱軸是通過兩底中點的直線，與對角線不同，一般情況下對角線不平分底角。 「所有梯形的對角都互補」：錯。一般梯形只保證同一腰兩端的角互補；等腰梯形才另有對角互補的性質。 「四個內角和為 360° 不是等腰梯形的性質」：錯。它是所有四邊形共有的性質，等腰梯形當然也成立。 「鳶形的兩條對角線互相平分」：一般不成立。應先找出連接等邊交會頂點的那條對角線，它才平分另一條。 「畢氏定理直接套整條對角線」：先確認直角三角形的兩股。圖上若標的是被平分的整段，要先除以 2；最後答整條時再乘回 2。 「斜放、太細或長寬相等，就不是長方形」：錯。判斷標準是四個直角，方向與比例都不影響，正方形也是長方形。 「平行四邊形一定不是梯形」或「一定是梯形」：都須依定義判斷；「只有一組」排除它，「有（至少）一組」包含它。 「分類表符合其中一項就能舉例」：錯。平行組數、等長條件及所指邊的位置，都必須同時符合；條件矛盾的類別不存在。 記憶口訣 等腰梯形：兩腰等、同底角等、對角線等；同腰角補、對角也補。 鳶形：對角垂直，單向平分；先認半段，再算平方（10、24、26）。 矩形認四直角，旋轉比例不干擾；梯形先看定義，「只有」「至少」要分清。