次數資料的集中量數

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建立於 2026年11月10日

學習重點 辨認平均數、中位數、眾數的意義，分清楚「資料的數值」、「出現的人數」與「排序後的位置」。 能由次數分配表、長條圖及圓形圖讀取資料，並以「數值乘以次數」計算加權算術平均數。 依總人數的奇偶決定中位數位置，再用累積次數（或累積百分比）找出該位置所對應的數值。 能由最高次數判定眾數，並利用已知人數及百分比反求全班人數。 掌握偶數筆資料的中位數算法，理解中位數與平均數不一定是資料中原有的數值。 核心觀念 一、先分清楚：數值、次數與累積次數 次數資料是將相同的觀測結果合併，記錄各數值出現幾次。例如「每週讀書時數為9小時，有8人」，其中9是資料數值，8是次數。求集中量數時，研究的是學生的讀書時數，不能把人數當成時數。 累積次數是先將資料數值由小到大排列，再將次數逐項加總。它能告訴我們「小於或等於某個數值的資料共有幾筆」，也能用來定位中位數。 集中量數意義次數資料的求法 平均數將資料總量平均分配後的數值各數值乘以其次數，加總後除以總次數 中位數資料排序後位於中央的代表值先決定中央位置，再查累積次數 眾數出現次數最多的資料數值找最高次數所對應的數值 二、平均數：把次數當作權重 次數分配表中的每個數值可能出現多次，因此必須使用加權算術平均數： 平均數＝各組「數值×次數」的總和÷總次數。 例如，讀書時數依序為3、5、7、9、11小時，人數依序為1、4、5、8、2人，總人數為20人。全體讀書時數的總和為： 3×1＋5×4＋7×5＋9×8＋11×2＝3＋20＋35＋72＋22＝152（小時）。平均數＝152÷20＝7.6小時。 不能直接把五種時數相加後除以5；那樣等於假設每種時數的人數相同，忽略了實際次數。 投擲骰子的資料也相同：以各點數乘以該點數出現的次數，全部加總，得到總點數，再除以投擲總次數。若投擲100次，平均數的分母就是100，結果通常是兩位小數。題目若要求平均數與眾數的和，應先各自求出兩者，再相加。 合理性檢查：平均數一定介於資料的最小值與最大值之間。骰子點數只有1～6，所以平均數與眾數都在1～6之間，兩者之和不可能超過12；選項中出現十幾、三十幾的數值，可直接排除。 三、中位數：先找位置，再找數值 求中位數前，必須先將資料由小到大排序。設資料總筆數為n： n為奇數：中位數是第（n＋1）÷2筆資料的數值。例如25人，中位數就是排序後第13人的資料。 n為偶數：中位數是第n÷2筆與第（n÷2＋1）筆資料數值的平均。例如2024人，須找第1012人及第1013人的資料，再將兩個數值相加除以2。 注意，「第13人」是位置，並不是中位數等於13。若第13人的拍球次數是24次，中位數才是24次。 次數表不必真的展開成全部原始資料，只要利用累積次數找位置。以上述讀書時數為例： 讀書時數人數累積人數排序後的位置 311第1人 545第2～5人 7510第6～10人 9818第11～18人 11220第19～20人 共有20人，中央位置為第10人與第11人。第10人的時數為7，第11人的時數為9，所以中位數＝（7＋9）÷2＝8小時。即使沒有人恰好讀8小時，中位數仍可為8小時。 中央兩筆若落在同一個數值，中位數就是該數值；若落在不同數值，才取兩者的平均。因此，偶數筆資料的中位數不一定有小數，奇數筆資料也不能任意取中央兩個不同數值的平均。 四、由長條圖、圓形圖找中位數 長條圖：先辨認橫軸的資料數值與縱軸的次數，再依數值由小到大累加長條高度。累積次數首次達到或超過目標位置時，該長條對應的數值就是該位置的資料。例如25人時目標為第13人，應找哪個數值涵蓋第13人，不能找高度等於13的長條。 圓形圖：各扇形表示某類資料占全體的比例。若總人數已知，可用「總人數×比例」換算次數；若標示圓心角，則比例＝圓心角÷360°。接著將各類別依資料數值大小排序，再累加人數。 也可以不換算人數，直接用累積百分比判斷： 依數值由小到大累加百分比，累積百分比第一次超過50%的那個數值，就涵蓋了中央兩筆，即為中位數。 若某數值的累積百分比恰好等於50%（且總人數為偶數），第n÷2筆落在該數值、第n÷2＋1筆落在下一個數值，中位數取兩者平均。 扇形在圓周上的排列不一定依數值大小，因此不能沿著圖面順序直接找中位數。對2024筆資料，若投進0～1球的累積比例未達50%，加上投進2球後超過50%，則第1012筆與第1013筆都落在投進2球的類別，中位數就是2球；只有中央兩筆分別為2球與3球時，中位數才是2.5球。 五、眾數：找次數最多所對應的值 眾數看的是哪個數值出現最多次。在長條圖中找最高的長條，在圓形圖中找占比最大的扇形，再讀取其代表的資料數值。 讀書時數資料中，最高次數為8人，對應9小時，所以眾數是9小時，不是8。骰子資料中，眾數是最常出現的點數，不是該點數出現的次數。若多個數值並列最高次數，則這些數值皆為眾數。 六、已知部分人數與百分比，先求總人數 若已知60分的人數占全班25%，設60分有m人，則： 全班人數＝m÷25%＝4m。 其中60是成績，m是該成績的人數，25%是人數比例，三者不可混用。求得全班人數後，若表中仍有缺漏次數，可用總人數扣除其他已知人數，再依成績由低到高累加，判斷總人數的奇偶，找出中央位置對應的成績。 常考陷阱 把各類數值直接平均：只有各類次數相同時，才可如此計算。一般次數資料必須乘上次數後再加總。 平均數超出資料範圍：平均數必介於最小值與最大值之間；骰子平均數與眾數相加不可能超過12，可用來快速刪去選項。 把中央位置當成中位數：第13筆只是位置，必須再查該筆對應的拍球次數或成績。 偶數筆只看其中一筆：必須確認中央兩筆；尤其累積次數恰好等於n÷2（累積百分比恰為50%）時，下一筆已落入下一個數值。 看到偶數筆就選帶有0.5的答案：中央兩筆可能落在同一數值，也可能相加後為偶數，不能只憑總人數的奇偶判斷結果。 把最大數值當眾數：每人最多投進6球，不代表眾數為6或5；必須比較各投進球數的出現次數。 把最高次數當眾數：某點數出現最多次時，眾數是該點數，不是出現次數。 用圓形圖最大扇形找中位數，或沿圖面順序累加：最大扇形用來判定眾數；中位數須先依數值由小到大排序，再看累積比例跨過50%的位置。 認為三種集中量數必須相同或必須實際出現：平均數、中位數、眾數可能不同；平均數與偶數筆資料的中位數，也可能不在原始資料中。 記憶口訣 平均乘次再除總；中位排序找中央；眾數認值看最多。 奇數取中一，偶數中二平均；位置先找準，數值再讀清。 圓形圖：由小排起累百分，過半那格是中位，剛好一半取相鄰。