正比例的條件與基本應用

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建立於 2026年11月10日

學習重點 以「兩量的比值是否固定」判斷正比例，不能只看兩量是否一起增加。 辨認正比例成立的條件，例如單價固定、速率固定、兌換規則固定，並檢查生活情境是否支持這些條件。 區分正方形周長與邊長的正比關係，以及面積與邊長的平方關係。 運用固定比值解決距離、時間、兌換及太陽光電設施的換算問題，注意單位統一與最後取概數。 核心觀念 一、正比例的意義：對應數量的比值固定 設兩個變量為 x、y，若在討論範圍內，y ÷ x 始終等於同一個常數 k，就可以寫成 y＝kx，稱為 y 與 x 成正比。計算比值時，分母 x 不可為零；正比例關係若延伸到 x＝0，則 y 也等於 0。 在一般正量情境中，正比例有兩個重要特徵：一是比值固定；二是一量變成原來的幾倍，另一量也變成原來的相同倍數。例如物品單價固定，購買重量加倍，總價也加倍。 「同時增加」只能說明變化方向，不能直接證明成正比。例如正方形邊長增加，面積也增加，但邊長加倍時面積變為四倍，並不符合相同倍數的條件。 二、先找出變量，再判斷哪個量固定 數量關係的判斷，必須先確認正在比較哪兩個量，以及題目固定了什麼條件。同一個公式，固定的量不同，得到的關係也可能不同。 數量關係判斷方式典型情境 差不變兩量相減為固定值兩人的年齡差固定 和不變兩量相加為固定值固定總數分成兩部分 積不變兩量相乘為固定值距離固定時，速率與所需時間的乘積固定 比值不變兩量相除為固定值速率固定時，距離除以時間為固定值 等速運動的基本關係是「距離＝速率 × 時間」。當題目明示速率保持固定時，距離 ÷ 時間＝速率，所以距離與時間成正比，屬於比值不變。求時間則使用「時間＝距離 ÷ 速率」。 速率若以「公里／小時」表示，距離以公里表示，相除所得的時間單位就是小時；若要求分鐘，還須乘以 60。例如 2.5 小時＝2.5 × 60＝150 分鐘，不能把以小時計算的數值直接當作分鐘。 若改成距離固定、讓速率與時間改變，則「速率 × 時間＝固定距離」，此時是積不變。不能只看到距離、速率、時間，就直接判定某一種關係，要看題目固定的是速率還是距離。 三、常見正比例與平方關係的比較 比較的兩量關係式與成立條件判斷 正方形周長 P 與邊長 sP＝4s，P ÷ s＝4成正比 正方形面積 A 與邊長 sA＝s²，A ÷ s＝s，比值隨邊長改變不成正比，屬平方關係 麵粉總價與購買斤數總價＝每斤單價 × 斤數，且每斤單價固定成正比 等速運動的距離與時間距離＝固定速率 × 時間成正比 辨別正方形的兩種關係，可以使用「加倍測試」：邊長加倍，周長加倍，因此周長與邊長成正比；邊長加倍，面積變為四倍，因此面積與邊長不成正比。更精確地說，正方形面積與邊長的平方成正比。題目要求找出「錯誤的正比例子」時，正方形面積與邊長就是典型答案。 重量與總價的正比關係則以單價固定為前提。如果出現折扣、固定運費或其他額外收費，就要重新檢查總價除以重量是否仍固定，不能直接套用正比例。 四、生活情境的合理性：有數字，不代表能列比例式 使用比與比值解題前，要先確認情境是否提供固定比例的依據。明確訂定的兌換規則可以建立固定比值；不同群體的偶發事件人數，則不能僅由總人數推算。 例如固定以 6 個寶特瓶兌換 3 個口罩，可得「口罩數 ÷ 寶特瓶數＝3 ÷ 6＝1／2」。在兌換規則相同、數量符合兌換條件時，寶特瓶數變成兩倍，口罩數也變成兩倍。這類情境具有明確的固定比例，適合用於比與比值的教學。 相對地，某校當日請假人數占全校人數的比例，只是該校當日的觀察結果。另一所學校即使總人數是兩倍，也不能據此斷定請假人數必為兩倍。請假情況會受感染情形、防疫措施、個人狀況等因素影響，題目若未提供兩校請假比例相同的條件，就沒有足夠依據列出比例式。 申論作答應交代兩層意思：先指出以全校人數推算另一校請假人數的情境較不合理，再說明兩校請假比例未必相同，總人數與請假人數沒有已知的固定比值，並可對照兌換情境「有明確規則保證比值固定」作為合理的例子。只寫「資料不足」或「不成正比」，理由仍不夠完整。 五、正比例應用：先統一面積單位，再用固定比值換算 若題目給定每 1.5 坪太陽光電設施約可產生 1 kW，表示「千瓦數 ÷ 坪數＝1 ÷ 1.5」為固定比值，計算時就依這個固定比例處理。由面積求對應的千瓦數，可寫成： 千瓦數＝總面積（坪）÷ 1.5。 若面積分成數組提供，應先加總，再將平方公尺換成坪。依給定換算率「1 平方公尺＝0.3025 坪」，計算如下： 總面積：247＋282＝529 平方公尺。 換算坪數：529 × 0.3025＝160.0225 坪。 換算千瓦數：160.0225 ÷ 1.5＝106.6816…… kW。 四捨五入至整數位，約為 107 kW。 也可以合併列式為「（247＋282）× 0.3025 ÷ 1.5」。中間保留足夠位數，最後才四捨五入。kW 是功率單位，不能直接改寫成表示電能的「度」。 常考陷阱 「兩量都增加，所以成正比」：判斷關鍵是比值固定，或一量變成幾倍時，另一量是否也變成相同倍數。 「正方形面積與邊長成正比」：面積與邊長是平方關係；周長與邊長才有固定比值 4。 「公式有乘法，所以是積不變」：積不變必須是所比較兩量的乘積固定。速率固定的等速情境中，距離與時間是比值不變。 「時間算出來直接當分鐘」：公里 ÷ 公里／小時得到的是小時，要求分鐘須再乘以 60。 「人數加倍，請假人數一定加倍」：不同學校未必有相同的請假比例，不能把單一學校的觀察結果當作共同規則。 「只要算出答案，就是合理的比例題」：能列式不等於情境合理，須先說明固定比例的依據。 「平方公尺直接除以 1.5」：1.5 的單位是坪，必須先把平方公尺換成坪；由坪數求千瓦數應除以 1.5，而不是乘以 1.5。 「分開計算再各自取整數」：應先加總面積、中間保留小數，最後一步再四捨五入，避免累積誤差。 記憶口訣 正比看比值，倍增要同步；周長隨邊長，面積看平方。 情境先查條件，計算先統單位；中途保留小數，最後才取概數。