比與比值的基本性質

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建立於 2026年11月10日

學習重點 分清楚「比」與「比值」：比用來表示兩量的對應關係，比值則是前項除以後項所得的數。 掌握「部分比部分」與「部分比全體」的差別；求部分占全體的比值，分母必須是全體。 運用同乘同除、交叉相乘、共同倍數表示法與等比性質，判斷比例式的各種等價變形，並找出不等價的寫法。 理解固定配方表示固定倍數關係；兩量可以同步放大或縮小，實際用量與差值未必固定。 核心觀念 一、比有順序，比值是相除的結果 兩量的比記作 a：b，其中 a 是前項、b 是後項；其比值為 a／b，後項 b 不可為 0。「甲與乙的比」就是甲：乙，比值則是甲÷乙。先確認比較順序，再寫除法，才能避免把比值寫成倒數。 例如，甲量與乙量的比為 3：4，比值是 3／4；若改問乙量與甲量，比為 4：3，比值就是 4／3。比值可以小於、等於或大於 1，不一定是真分數。 比與比值應區分表示形式：最簡整數比寫成 3：4，比值則可寫成最簡分數 3／4；兩者都表達相同的相對關係，但作答時須符合題目所問。 二、部分與全體：先找總量，再約分 若全體由兩個互不重複的部分組成，則全體數量＝甲部分＋乙部分。因此，甲部分與全體的比值為「甲／（甲＋乙）」，乙部分與全體的比值為「乙／（甲＋乙）」。 以男生 15 人、女生 20 人為例，全班共有 35 人。女生與全班人數的比為 20：35，比值為 20／35＝4／7。比較對象是全班，分母就不能只放男生人數。 比較關係比比值 女生與男生20：15＝4：34／3 男生與女生15：20＝3：43／4 女生與全班20：35＝4：74／7 男生與全班15：35＝3：73／7 化為最簡分數時，分子、分母同除以最大公因數（20 與 35 的最大公因數是 5）。也可以先將部分間的比約簡為男：女＝3：4，再把全體視為 7 份，得到女生占全班的 4／7。 三、按比分配：總份數是各部分份數相加 若甲：乙＝m：n，且兩者合計為 T，則總份數為 m＋n。甲占全體的 m／（m＋n），乙占全體的 n／（m＋n），因此： 甲的數量＝T×m／（m＋n）。 乙的數量＝T×n／（m＋n）。 例如，兄：弟＝3：2 分配 800 元，兄 3 份、弟 2 份，全體共 5 份。若 x 表示弟弟分到的錢，應列成 x／800＝2／5，可得 x＝320 元（哥哥 480 元）。 其中，2／3 表示「弟弟與哥哥」的金額比值；2／5 才表示「弟弟與全體」的金額比值。比例式兩邊的分子、分母，必須對應相同角色：左邊「弟／總額」，右邊就要「弟的份數／總份數」。 四、等比的基本性質與等價變形 若 a：b＝2：5，則 a／b＝2／5，且 b≠0。可用以下方式改寫與檢查： 性質正確變形判斷關鍵 同乘或同除3a：3b＝2：5前後項同乘同一非零數，或同除以同一非零數，比值不變。 交叉相乘（內項積＝外項積）5a＝2ba：b＝2：5 中，外項 a、5 相乘，等於內項 b、2 相乘。 共同倍數表示a＝2k，b＝5k兩項使用同一個 k，且 k≠0。 對應項相除a／2＝b／5兩邊都等於共同倍數 k，也可寫成 a：2＝b：5。 前後項互換b：a＝5：2，b／a＝5／2左右兩個比都要同時互換。 等比性質（合比）（a＋b）：b＝7：5，a：（a＋b）＝2：7部分與總和的比，總和用份數相加。 等比性質（加對應份數）（a＋2）：（b＋5）＝2：5前項加 2、後項加 5，所加的數本身也成 2：5，所以比值不變。 遇到較複雜的代數式，代入 a＝2k、b＝5k（或直接代 a＝2、b＝5、或 a＝4、b＝10）檢查，通常最快。例如，（b－a）：b＝3k：5k＝3：5；（a＋2）／（b＋5）＝（2k＋2）／（5k＋5）＝2（k＋1）／5（k＋1）＝2／5。 比的前後項同加或同減「同一個數」，通常不會保持原比值。例如，2：5 不等於 3：6。另須確認每個比的後項、每個分式的分母都不為 0，不能對沒有定義的式子套用比例性質。 常見的「錯誤」寫法：a／5＝b／2、2a＝5b、a：b＝5：2、b／a＝2／5、（a＋1）：（b＋1）＝2：5。這些代入 a＝2、b＝5 檢查即可發現不成立。 五、固定比值保證倍數固定，不保證差值固定 若配方為紅茶：牛奶＝5：2（杯子大小相同），可設紅茶用量為 5k 杯、牛奶用量為 2k 杯，其中 k＞0。奶茶由兩者混合而成，總量為 7k 杯，因此牛奶：奶茶＝2：7，紅茶：奶茶＝5：7。 紅茶與牛奶的比值是 5k／2k＝5／2＝2.5，所以無論調製多少，紅茶用量都是牛奶的 2.5 倍。兩者的差則為 5k－2k＝3k 杯，會隨製作份量改變；只有 k＝1（恰好一份）時才相差 3 杯，例如做兩份就是 10 杯對 4 杯，相差 6 杯。 固定比例可以確定哪一量較多、兩量的倍數及各部分占全體的比例；若沒有另外給定總量或其中一量，不能確定各量及差值的實際大小。 敘述是否一定成立理由 紅茶和牛奶的比值是 5／2成立前項÷後項＝5÷2。 紅茶和牛奶的比值是 2／5不成立寫成倒數，那是牛奶和紅茶的比值。 牛奶和奶茶的比是 2：7成立奶茶＝5＋2＝7 份。 紅茶一定比牛奶多 3 杯不成立差值是 3k，隨份量改變。 紅茶一定是牛奶的 2.5 倍成立倍數＝比值，固定不變。 常考陷阱 把部分比部分當成部分比全體：看到 3：2 就直接寫成某人占總額的 2／3。應先把份數相加，確認全體為 5 份。 比例式只倒置一邊：若「部分／總量＝2／5」，倒置後應為「總量／部分＝5／2」。不能把總量放在分子，右邊卻仍保留 2／5（如 2／5＝800／x 即為錯誤）。 把配方中的部分當作成品總量：紅茶與牛奶混合後，奶茶包含兩者；求牛奶與奶茶的比，後項應用兩部分份數之和。 把比值寫成倒數：紅茶：牛奶＝5：2，紅茶與牛奶的比值是 5／2；2／5 是牛奶與紅茶的比值。 誤以為同比代表同差：5：2 放大成 10：4，比值不變，差卻由 3 變成 6。看到「一定多幾杯」等固定差值敘述，要檢查是否限定製作份量。 把比的項當成實際數量：5：2 表示相對份數，不能單憑比例就認定實際只有 5 杯與 2 杯。 交叉相乘配錯項：a：b＝2：5 應得 5a＝2b；不要誤寫成 2a＝5b。先寫成分數再交叉相乘較穩妥。 對應項配錯：a／2＝b／5 正確，a／5＝b／2 錯誤；a 要配 2、b 要配 5。 看見形式改變就判錯：a：2＝b：5、（a＋2）：（b＋5）＝2：5 仍與原比例等價。判斷應依比值或交叉乘積，或直接代入 a＝2、b＝5 驗算，不能只看外觀。 問「何者錯誤」卻選了正確的：題目問錯誤選項時，每個選項都代入驗證，唯一不成立者才是答案。 記憶口訣 比值前除後，全體份數湊；同乘同除比不變，外項乘積等內項；a 配 2、b 配 5，代數驗算最可靠；倍數固定差會變，對應角色別弄亂。