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學習重點 能以「符合條件的結果數÷全部等可能結果數」計算古典機率，並正確列出兩次試驗的樣本空間。 理解獨立事件的意義：前一次的結果，不會改變後一次事件發生的機率。 能運用獨立事件的乘法公式，以及「相同」與「不同」互為補事件的關係解題。 分清楚理論機率、預期次數與實際次數，不把長期趨勢誤認為短期保證。 掌握放回抽樣的關鍵：每次抽取前袋內組成相同，所以各類球的機率維持原來的數量占比。 核心觀念 一、古典機率：先確認等可能，再計數 若樣本空間中每一個基本結果發生的機率相等，則P（事件）＝符合事件的結果數÷全部可能的結果數。分子與分母必須採用相同的計數標準，不能分母區分先後、分子卻忽略先後。 兩個人或兩顆骰子可以分別標示為甲、乙，用有序對（甲的結果，乙的結果）表示。因此（1，2）與（2，1）是兩個不同的基本結果。即使兩顆骰子外觀相同，也可以先在心中加以標記，才能正確計數。 若甲、乙各自獨立且等機率地從四個選項（例如四節車廂）中選一個，全部結果共有4×4＝16種。兩人選到相同選項的結果有（1，1）、（2，2）、（3，3）、（4，4），共4種，因此相同的機率為4/16＝1/4；不同的機率為12/16＝3/4。選項若以12/16或3/4等不同形式呈現，約分後相等即為同一答案。 也可以固定甲的選擇來看：不論甲選哪一節，乙都有3節與甲不同，所以不同的機率為3/4。這種「先固定一人、再看另一人」的方法，適合用於選車廂、選號碼、擲兩顆骰子等情境。 二、獨立事件：同時發生用乘法 事件A、B獨立，表示其中一個事件是否發生，不影響另一個事件發生的機率，此時P（A與B同時發生）＝P（A）×P（B）。 公正的正四面體骰子有四個面，數字為1、2、3、4，擲出後有一個數字在底面，每個數字在底面的機率都是1/4。兩顆骰子結果互相獨立，因此「指定兩顆底面都是某一個數字」（例如都是3）的機率為1/4×1/4＝1/16。 但「兩顆底面數字相同」包含同為1、同為2、同為3、同為4，共四種互不重疊的情況，所以機率為4×1/16＝1/4。也可以先固定第一顆的底面數字，第二顆只有一個數字能與它相同，機率同樣是1/4。 注意判讀位置：正四面體骰子落定後只有一個面朝下，題目以「底面數字」作為該次結果；朝上的是頂點、側面看得到三個數字，都不是這次試驗的結果，不可重複計入。 三、補事件與互斥事件：分清楚加法、乘法 「相同」與「不同」恰好涵蓋所有結果，且不會同時發生，因此互為補事件：P（不同）＝1－P（相同）。例如兩人搭4節車廂，P（不同）＝1－1/4＝3/4。直接計數較麻煩時，先求補事件通常更快。 關係判斷關鍵計算方式 獨立事件一個事件的結果不影響另一個求同時發生時，機率相乘 互斥事件兩事件不能同時發生求其中之一發生時，機率相加 補事件互斥，且合起來涵蓋全部結果兩事件的機率和為1 例如「兩顆底面同為1」與「兩顆底面同為2」互斥，可以相加；「甲骰底面為1」與「乙骰底面為1」是獨立事件，求兩者同時成立時用乘法。 四、放回抽樣：袋內比例不變，下一次機率不變 放回抽樣是每次取出後把球放回袋中、混合均勻後再抽。若每球被抽中的機會相等，各次抽取互相獨立，則每次抽到某類球的機率＝該類球數÷球的總數。 例如袋內有白球6個、紅球4個，每次抽到白球的機率都是6/10＝3/5，抽到紅球的機率都是4/10＝2/5。即使已知前兩次都是白球，第三次抽取前袋內仍是6白4紅，所以第三次白球機率P＝3/5、紅球機率Q＝2/5，P＞Q，且P＋Q＝1。 要區分「已知前兩次結果，求下一次」與「求連續三次都是白球」：前者只看下一次，機率為3/5；後者要三次同時成立，機率為（3/5）×（3/5）×（3/5）＝27/125。 若是不放回抽樣，抽完後總球數與各類球數會改變，後次機率要依剩餘組成重新計算，不能直接套用「每次機率固定」的做法。 五、理論機率不等於實驗次數的保證 公正六面骰每次出現6點的理論機率為1/6，表示單次投擲中各點數機會相等，並不保證每投6次就恰好出現一次6點。 各次投擲互相獨立，即使先前連續出現6點，下一次出現6點的機率仍為1/6。投擲10次都出現6點的機率為（1/6）的10次方，雖然很小但大於0，因此不能說「不可能」。 投擲n次時，出現6點的預期次數為n/6，實際次數可以高於或低於此數。例如投擲300次，預期約50次，實際出現超過65次雖然不常見，但有可能。 大量重複試驗所呈現的是相對頻率＝某結果出現次數÷總試驗次數的穩定趨勢：試驗次數愈多，相對頻率通常愈接近理論機率。但這不表示每多做一次就一定更接近，也不保證投擲66000次後各點數「必定」恰好各出現11000次。 常考陷阱 把「任意相同」誤算成「指定相同」：兩顆四面骰都出現某指定數字是1/16；只要求數字相同，須納入四種相同結果，得1/4。 把有序結果合併：（1，2）與（2，1）要分開計算，不可把不分順序的配對直接當成等可能的全部結果。 相同、不同搞反：題目問「不同車廂」，答案是3/4而不是1/4；作答前先確認問的是哪一個事件。 認為連續抽到白球後「該輪到紅球」：放回後組成不變，先前結果不會讓紅球機率增加，也不會讓白球機率減少，所以不會變成P＝Q或P＜Q。 把已知條件再乘一次：已知前兩次是白球、只問第三次時，不必再乘前兩次的機率。 誤判兩類結果的機率和：袋內只有紅、白兩類球，一次抽取必為其中一類，所以P＋Q＝1，「P＋Q＜1」是錯的。 把「機率很小」說成「不可能」：連續出現6點仍可能發生；只要機率大於0，就不能判定不可能。 看到「每…就會」「必定」「恰好」就接受：理論機率不能保證固定次數內的實際分配；大量試驗只是相對頻率趨近理論機率，並非次數必定相等。選項中寫「可能」的敘述，通常才是正確描述機率的說法。 記憶口訣 等可能才計數，獨立同時用乘法；不同可用一減同，任意相同要加全；放回比例不改變，已知過去看下次；少見不等於不見，長期趨近非保證。