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學習重點 熟記正方體、圓柱體與球體的體積公式，計算前先把球的直徑換成半徑。 球的直徑等於正方體邊長時，球體積是正方體體積的 π／6 倍（約 52.4%），所以球的體積較小。 切削損耗＝原材料體積－成品體積；製作相同成品時，能容納成品且原體積較小的材料，損耗較少。 浪費百分比的分母是「所選原材料的體積」，可利用體積比約去共同因數，快速求出結果。 核心觀念 一、先分清楚直徑、半徑與邊長 球的直徑記為 d、半徑記為 r，兩者關係為d＝2r，r＝d／2。球體積公式使用半徑，所以看到直徑時，必須先除以 2。正方體的邊長則直接代入正方體體積公式，不必除以 2。 立體體積公式代入時的關鍵 正方體V＝a³a 是正方體的邊長。 直圓柱體V＝πr²hr 是底面半徑，h 是高。 球體V＝（4／3）πr³r 是球的半徑，不能直接代入直徑。 長度單位若為公分，體積單位就是立方公分。比較前須確認長度單位一致，也不能把表面積公式與體積公式混用。 二、球的直徑等於正方體邊長：用比例直接比較 設球的直徑與正方體的邊長同為 d，則球半徑為 d／2。球體積可改寫為： V球＝（4／3）π（d／2）³＝（4／3）π×d³／8＝πd³／6。 正方體體積為 V正方體＝d³，所以V球：V正方體＝π：6，也就是 V球／V正方體＝π／6，約為 0.524。因為 π＜6，球的體積約只占正方體的 52.4%，必定小於正方體。 這個比例與 d 的數值無關。只要「球的直徑＝正方體邊長」，不論共同長度是多少，結論都是球＜正方體，不必每次算出兩個完整體積。以實際數字驗證： 共同長度 d球體積（πd³／6）正方體體積（d³）結論 5 公分125π／6 ≈ 65.4 立方公分125 立方公分球＜正方體 7 公分343π／6 ≈ 179.6 立方公分343 立方公分球＜正方體 也可用空間圖像判斷：把球放進邊長等於其直徑的正方體內，球恰好與六個面相切，但正方體的八個角落仍有球未占據的空間，所以球的體積較小。直徑與邊長相等，不代表兩個立體的體積相等。 三、先確認材料能容納成品，再比較切削量 討論切削之前，必須確認成品能完整放入材料中。直徑為 d 的球，可以由邊長為 d 的正方體磨製而成；也可以由底面直徑為 d、高為 d 的直圓柱體磨製而成。兩者都能容納完整球體，才能進一步比較損耗。 設成品球半徑為 r，則上述正方體邊長為 2r，圓柱底面半徑為 r、高為 2r，各體積如下： 比較項目體積扣除球後的切削量 正方體材料（2r）³＝8r³8r³－（4／3）πr³ 圓柱體材料πr²×2r＝2πr³2πr³－（4／3）πr³＝（2／3）πr³ 球形成品（4／3）πr³作為共同扣除的成品體積 因為 2π≈6.28＜8，所以圓柱材料的體積小於正方體材料。兩塊材料最後做成的球完全相同，扣掉相同的球體積後，圓柱材料留下的切削損耗較少。 這類題目的快捷判斷是：同成品，切削量的差＝原材料體積的差。不必先算出球體積，也能比較哪一塊材料較省。不過，這個推論以「成品相同，而且兩塊材料都能容納成品」為前提。 以球直徑 20 公分（半徑 10 公分）為例： 項目正方體木塊（邊長 20）圓柱木塊（底面直徑 20、高 20） 原材料體積8000 立方公分2000π ≈ 6283.2 立方公分 球體積4000π／3 ≈ 4188.8 立方公分4000π／3 ≈ 4188.8 立方公分 被磨掉的體積8000－4000π／3 ≈ 3811.2 立方公分2000π／3 ≈ 2094.4 立方公分 若材料同品種且質料均勻，可視為密度相同，由「質量＝密度×體積」可知，切削體積較小，產生的木屑總量也較少。因此應選圓柱體木塊。 四、浪費比例：切掉的體積除以原體積 「浪費多少體積」與「浪費占百分之多少」是不同問題。前者求體積差，後者須再除以原材料體積： 浪費比例＝（原材料體積－成品體積）／原材料體積＝1－成品體積／原材料體積。 對底面直徑、高都等於球直徑的圓柱而言，球體積占圓柱體積的比例為： V球／V圓柱＝［（4／3）πr³］／（2πr³）＝2／3。 所以圓柱材料的浪費比例為 1－2／3＝1／3，換成百分比約為33.3%（約百分之 33）。此處 π 與 r³ 都能約去，結果不受球大小影響，也不必先取 π 的近似值。 以球直徑 20 公分驗證：切削量 2000π／3 除以原圓柱體積 2000π，仍得 1／3。 作為比較，同直徑條件下，正方體的浪費比例為 1－π／6，約為 47.6%。因此這組條件中，圓柱的切削體積與浪費比例都較小。 常考陷阱 把直徑直接當半徑：若將 d 直接代入球體積公式，算出的體積會是正確值的 8 倍，容易誤判球比正方體大。務必先寫 r＝d／2。 長度相同就選體積相等：球的直徑與正方體邊長雖相等，體積公式不同，應比較 πd³／6 與 d³，結果是球較小。 以為沒有提供半徑就無法比較：已知直徑就能求出半徑；同尺度比較可直接用 π：6，不屬於「條件不足」。 數字換了就以為結論會變：不論直徑是 5、7 或其他數值，只要直徑等於邊長，球的體積永遠約為正方體的 52.4%。 把球體積當成浪費量：球是保留下來的成品，磨掉的部分應以原材料體積減去球體積。 百分比除以成品體積：「浪費占原木塊的比例」必須以原木塊為分母。圓柱切削量若除以球體積會得到 1／2，但這不代表原材料浪費了 50%。 把保留率當浪費率：球占外接圓柱的 2／3，是保留比例；浪費比例須用 1 減去它，得到 1／3。 算錯題目要的那塊材料：浪費比例要針對「浪費較少」的圓柱計算（約 33%），不要算成正方體的約 47.6%。 看到材料體積較小就直接選：先確認材料形狀與尺寸能容納完整成品；只有體積足夠，並不保證形狀適合切削。 過早取近似值：能先約分就先約分。申論作答應寫出體積公式、體積差、比例算式及百分比，避免只留下沒有依據的答案。 記憶口訣 直徑先折半，體積再立方；同球比損耗，原料減成品；浪費求百分，原料作分母。 球進方盒占 π／6，角落空著球較小。 同直徑、同高度：球占圓柱三分二，磨掉留下三分一。