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學習重點 能先找出最長邊，再用「兩短邊平方和＝最長邊平方」判定直角三角形，並指出直角的位置。 熟悉常見畢氏三元組及其等比例放大、縮小，並能寫出完整的逆定理證明。 利用平方差因式分解，從畢氏定理推導正整數的倍數關係，並會用反例否定錯誤敘述。 掌握「半圓面積與直徑平方成正比」，正確轉換面積與三角形邊長。 結合鳶形的對角線性質與繩長分段，判斷直角的位置。 核心觀念 一、畢氏定理與逆定理：計算與判定要分清楚 畢氏定理是：已知三角形為直角三角形，若兩股長為 a、b，斜邊長為 c，則 a²＋b²＝c²。畢氏定理逆定理則是：已知三角形的三邊長為 a、b、c，若 a²＋b²＝c²，就能判定它是直角三角形，且 c 所對的角為直角。 作答時先將邊長由小到大排列，指定最長邊為 c，再比較另外兩邊的平方和與 c²。不能只憑圖形外觀，也不能只因為出現熟悉的整數就判定。 比較結果（c 為最長邊）三角形種類 a²＋b²＝c²直角三角形（c 對角為直角） a²＋b²＞c²銳角三角形 a²＋b²＜c²鈍角三角形 若題目只給三個數，還須確認都是正數，且兩短邊之和大於最長邊，才能組成三角形。例如 2、3、4 可以組成三角形，但 2²＋3²＝13＜4²＝16，是鈍角三角形而非直角三角形。6、6、10 也可組成三角形，但 6²＋6²＝72＜10²＝100，同樣不是直角三角形。 含根號或分數的邊長也使用同一判準。計算時直接平方，例如 (√2)²＝2，避免先換成近似小數而造成誤差。直角三角形的邊長不必全為整數；整數只是畢氏三元組的額外條件。 申論題若要求說明逆定理為何成立，可這樣寫：另作一個兩股為 a、b 且夾直角的三角形，由畢氏定理其斜邊平方為 a²＋b²＝c²，故斜邊為 c；兩個三角形三邊對應相等，依 SSS 全等，原三角形中 c 所對的角也是直角。 二、畢氏三元組與比例關係 滿足 a²＋b²＝c² 的三個正整數，稱為畢氏三元組。常見組合如下： 兩股斜邊平方驗證 3、459＋16＝25 5、121325＋144＝169 8、151764＋225＝289 7、242549＋576＝625 若三邊同乘一個正數 k，則 (ka)²＋(kb)²＝k²(a²＋b²)＝(kc)²，所以仍構成直角三角形。例如 10、24、26 是 5、12、13 的兩倍，且 10²＋24²＝100＋576＝676＝26²。 要注意：同比例縮放能保留直角性質，但縮放後不一定仍是整數，因此不一定仍稱為畢氏三元組。申論證明也不能只寫「這是常見三元組」，應列出平方相等的算式，並明確引用逆定理。 三、由平方差判斷整數倍數關係 已知 a、b、c 均為正整數，且 c 為斜邊，從 a²＋b²＝c² 移項可得： a²＝c²－b²＝(c－b)(c＋b)。 因為 c＞b，所以 c－b 是正整數；c＋b 也是正整數。因此 a² 除以 c－b 的商為整數 c＋b，可知a² 是 c－b 的倍數，也可說 c－b 是 a² 的因數。同理，a² 也是 c＋b 的倍數。 交換兩股的角色，還可得到 b²＝(c－a)(c＋a)，因此 b² 是 c－a 與 c＋a 的倍數。這類題目的重點是先找恆等式，再確認商為整數，不是看到加減符號就猜整除。 其餘看似相近的敘述，未必成立。例如以 a＝3、b＝4、c＝5 檢查：a＋b＝7 不是 5 的倍數，c²＝25 不是 7 的倍數。若要檢查「a＋c 是 b 的倍數」，可取 a＝4、b＝3、c＝5，此時 a＋c＝9 恰可整除；但改取 a＝5、b＝12、c＝13，便有 a＋c＝18 不是 12 的倍數。偶然符合不能證明必然成立，一個反例即可否定普遍敘述。 四、邊上半圓：面積要對應邊長的平方 以三角形一邊長 x 為直徑作半圓，其半徑為 x／2，面積為 π(x／2)²／2＝πx²／8。因此，三邊上的半圓面積都等於相同常數 π／8 乘上各自邊長的平方。 設三邊為 x、y、z，對應半圓面積為 A、B、C（題目也常直接以 a、b、c 代表面積，務必看清楚），則 A：B：C＝x²：y²：z²，而邊長比為 x：y：z＝√A：√B：√C。 半圓面積條件邊長條件判定 A＝B＝Cx＝y＝z正三角形 √A＝√B＝√Cx＝y＝z正三角形 A＋B＝Cx²＋y²＝z²直角三角形，z 為斜邊 A：B：C＝9：16：25x：y：z＝3：4：5直角三角形 A²＋B²＝C²x⁴＋y⁴＝z⁴不是直角三角形 面積不能再次任意平方。若條件是 A²＋B²＝C²，代入後得到 x⁴＋y⁴＝z⁴。此時 z⁴＝x⁴＋y⁴＜x⁴＋2x²y²＋y⁴＝(x²＋y²)²，所以 z²＜x²＋y²，三角形其實是銳角三角形，說它是直角三角形就是錯誤敘述。半圓向外作、圓心位於邊的中點，都不改變上述面積公式。 五、鳶形與繩索情境的證明方法 鳶形具有兩組相等的鄰邊，其對角線互相垂直，且連接兩組等鄰邊交會頂點的對角線，會平分另一條對角線。圖形題應先標出直角、相等線段與被平分的長度，再利用小直角三角形求出所需邊長。 若目標三角形的三邊已由圖示條件確認為 10、24、26，即可寫出 10²＋24²＝100＋576＝676＝26²，根據畢氏定理逆定理，判定它為直角三角形，直角位於長 26 的邊所對的頂點。對角線垂直只直接保證交點處為直角，不能未經說明就推論其他頂點也是直角。原圖的線段標示若未完整呈現，也不可自行指定各數值屬於哪條線段。 繩索圍成三角形時，邊長應由相鄰握點之間的繩長差計算。全長 12 公尺，頭尾合握於同一點，另外握住 3 公尺與 7 公尺記號，三段長度依序為 3、7－3＝4、12－7＝5 公尺。 三人把各段繩子拉直後，形成邊長 3、4、5 的三角形。因為 3²＋4²＝9＋16＝25＝5²，依逆定理可知為直角三角形，這說明了為何會出現直角。直角必定在最長邊（5 公尺，即 7 公尺記號到繩尾那段）的對角；這個頂點正是長 3 與長 4 兩段的交會處，也就是握住 3 公尺記號的人，所以直角落在該處。申論答案須兩部分都交代清楚。 常考陷阱 把任意一邊當斜邊：應先選最長邊；直角在最長邊的對面。 把邊長相加當判準：a＋b＞c 是三角形成立的條件，a²＋b²＝c² 才是直角判準；看到「6、10、6」這類含重複數字的組合也要實際平方驗算。 倍數方向倒置：a²＝(c－b)(c＋b) 表示 a² 是 c－b 的倍數，不是反過來；也不能推成 a 是 c－b 的倍數。 被特例騙過：「(a＋b) 是 c 的倍數」「c² 是 (a＋b) 的倍數」「(a＋c) 是 b 的倍數」都可用 3、4、5 或 5、12、13 找到反例。 混淆面積與邊長：半圓面積本身已是邊長平方的倍數，「面積相加＝面積」才對應畢氏定理；「面積平方相加＝面積平方」不是直角三角形。 誤認鳶形兩條對角線互相平分：一般鳶形只保證其中一條平分另一條，須依等鄰邊的位置辨認。 把繩上記號當成三邊：記號是從繩頭量起的位置，真正邊長須計算相鄰握點間的差。 記憶口訣 最長先找，平方再比；平方差拆，整數看商；半圓面積，對應邊方；繩長取差，兩股夾直。