直線截距的面積與距離

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建立於 2026年11月10日

學習重點 由直線上兩個相異點求斜率，再以點斜式或聯立方程式求出線型函數 f(x)＝mx＋b。 掌握截距的求法：求與 x 軸的交點令 y＝0，求與 y 軸的交點令 x＝0。 兩軸互相垂直，以兩截距的絕對值作為底與高，計算三角形 OAB 的面積：|ab|／2。 利用兩點距離公式或畢氏定理，求兩軸交點之間的線段長度 AB＝√(a²＋b²)，並完整呈現演算理由。 核心觀念 一、從兩個已知點建立直線方程式 「線型函數」指形如 f(x)＝mx＋b 的函數，m≠0 時是一次函數，m＝0 時是常數函數，圖形都是直線。 設直線通過 P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，且 x₁≠x₂，則斜率為： m＝(y₂－y₁)／(x₂－x₁)。 斜率表示「縱坐標的變化量除以橫坐標的變化量」，分子與分母必須採用相同的相減順序。求得 m 後，可代入點斜式 y－y₁＝m(x－x₁)，再整理成 y＝mx＋b。也可以把兩點分別代入 y＝mx＋b，得到 y₁＝mx₁＋b、y₂＝mx₂＋b，聯立求出 m、b。 其中 b＝y₁－mx₁。完成方程式後，建議將另一個已知點代回檢查；若不成立，通常是斜率的正負號、減法或移項出錯。 若兩個相異點的 x 坐標相同，所決定的是鉛直線，不能寫成 y＝f(x) 的函數。要與兩軸圍成三角形，直線必須與兩軸各交於一點，且交點不能是原點。 二、求兩軸截距：先判斷哪個坐標必為零 設直線與 x 軸交於 A(a，0)，與 y 軸交於 B(0，b)。x 截距為 a，y 截距為 b；截距是帶正負號的數，交點則要寫成完整坐標。 要求的量代入條件對 y＝mx＋b 的結果 x 軸交點 A令 y＝0m≠0 時，x＝－b／m，故 A(－b／m，0) y 軸交點 B令 x＝0y＝b，故 B(0，b) 原點到 A 的距離取 x 截距的絕對值OA＝|a| 原點到 B 的距離取 y 截距的絕對值OB＝|b| 若方程式整理為 ux＋vy＝w，且 u、v 均不為零，則令 y＝0 可得 a＝w／u；令 x＝0 可得 b＝w／v。直接令坐標為零即可，無須一定先化成斜截式。 當 a、b 均不為零時，也能寫成截距式 x／a＋y／b＝1。式中的分母就是對應的截距，但仍要保留其正負號。 三、截距與坐標軸圍成的三角形面積 設 O 為原點。因 OA 位於 x 軸、OB 位於 y 軸，而兩坐標軸互相垂直，所以三角形 OAB 是以 O 為直角頂點的直角三角形。以 OA 為底時，對應的高就是 OB，因此： 面積 S＝OA×OB／2＝|a|×|b|／2＝|ab|／2。 這個公式不受交點位於正半軸或負半軸影響。若一個截距為正、另一個為負，ab 雖然是負數，面積仍須取正值；若兩截距都為負，兩條邊的長度依然分別是 |a|、|b|。 對 y＝mx＋b 而言，在 m≠0、b≠0 的條件下，代入 a＝－b／m，可得 S＝b²／(2|m|)。不過申論作答時，先列出兩軸交點，再寫底、高與面積，通常更清楚，也較容易檢查。 四、兩軸交點之間的距離 任意兩點 P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂) 的距離公式為： PQ＝√[(x₂－x₁)²＋(y₂－y₁)²]。 若要求 A(a，0)、B(0，b) 之間的線段長度，則： AB＝√[(0－a)²＋(b－0)²]＝√(a²＋b²)。 也可直接從直角三角形觀察：OA、OB 為兩股，AB 為斜邊，依畢氏定理得 AB²＝OA²＋OB²。由於平方會消除正負號，計算 AB 時可以直接使用帶符號的截距 a、b。 比較項目三角形 OAB 的面積兩軸交點間的距離 AB 使用公式|ab|／2√(a²＋b²) 運算重點相乘、取絕對值、除以 2各自平方、相加、開根號 單位平方單位長度單位 五、完整演算示範 設線型函數 f 的圖形通過 (－1，5)、(2，－1)，與 x 軸、y 軸分別交於 A、B。 斜率：m＝(－1－5)／(2－(－1))＝－6／3＝－2。 代入點斜式：y－5＝－2(x＋1)，整理得 y＝－2x＋3，即 f(x)＝－2x＋3。代回 (2，－1)：－4＋3＝－1，成立。 令 y＝0：0＝－2x＋3，x＝3／2，故 A(3／2，0)；令 x＝0：y＝3，故 B(0，3)。 面積：OA＝3／2，OB＝3，因兩軸垂直，S＝(3／2)×3／2＝9／4。 長度：AB＝√[(3／2)²＋3²]＝√(9／4＋36／4)＝√(45／4)＝3√5／2。 六、申論題的完整作答順序 由已知兩點列出斜率計算式，求得直線方程式，並代回另一點檢查。 令 y＝0 求 A，令 x＝0 求 B，寫出完整坐標。 求面積時，說明兩坐標軸垂直，列出 S＝OA×OB／2，再代入數值。 求交點間距離時，列出兩點距離公式或畢氏定理，再代入、化簡。 若前面的計算已求得方程式及交點，後續可直接引用結果，但仍應列出所用公式及代入過程。根號若能化簡，應整理為最簡根式；分數與根號混合時，可把根號內通分後再開方；沒有要求近似值時，保留精確值。 常考陷阱 把求截距的條件顛倒：x 軸上的點是 y＝0；y 軸上的點是 x＝0。先寫出交點形式 A(a，0)、B(0，b)，可避免混淆。 斜率分子分母相減順序不一致：寫成 (y₂－y₁)／(x₁－x₂) 會使斜率正負號相反，後面的截距全部錯誤；求出方程式後務必代回另一點檢查。 把截距直接當成長度：a、b 可以為負，OA、OB 必須非負。面積寫成 ab／2 而未處理正負號，可能得到錯誤的負面積。 把斜率當成 x 截距：在 y＝mx＋b 中，m 是斜率，b 才是 y 截距；x 截距須另解 0＝mx＋b。 面積漏除以 2：|ab| 是以兩股為鄰邊的長方形面積，三角形面積只有其一半。 把 AB 算成 |a|＋|b|：這是由 A 經 O 到 B 的折線長度。直線距離應為 √(a²＋b²)。 距離公式漏平方或漏根號：a²＋b² 是 AB²，必須再開根號才是 AB；√(a²＋b²) 也不能拆成 |a|＋|b|。 誤用原先兩點的距離：用來決定直線的兩點，不一定就是與兩軸的交點。應先確認所求線段的端點是 A、B，再代入距離公式。 根號未化簡：如 √(45／4) 應化為 3√5／2，申論題以最簡根式作答較完整。 忽略特殊情形：直線通過原點時，不能與兩軸圍成三角形；水平線（常數函數）與 x 軸平行或重合，也不能形成此種三角形。使用截距面積公式前，須確認幾何條件成立。 記憶口訣 求 x 截距，y 歸零；求 y 截距，x 歸零。截距有正負，長度取絕對；面積乘後半，距離平方和開根。