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學習重點 先判定相似，再列比例：確認兩組對應角相等，依角角相似判定找出相似三角形，才能使用對應邊成比例。 對應順序決定比例式：從相等角找出對應頂點，再配對對應邊，不要只憑圖形的位置或外觀列式。 邊長、周長與面積分清楚：相似三角形的周長比等於對應邊長比，面積比等於對應邊長比的平方。 判斷「所有三角形皆相似」：關鍵是條件能否固定三個角。只是同屬某一類三角形，未必能保證相似。 核心觀念 一、角角相似判定：兩組角相等就足夠 三角形內角和為 180°。兩個三角形若已有兩組對應角分別相等，第三組角也必然相等，因此可判定兩三角形相似，稱為角角相似判定（AA）。相似表示形狀相同，大小可以不同。相似三角形的對應角相等，對應邊長成比例。 例如，若 ∠A＝∠D、∠B＝∠E，就能寫成 △ABC∼△DEF。這個寫法同時標明對應關係：A 對 D、B 對 E、C 對 F，因此 AB 對 DE、BC 對 EF、AC 對 DF。 判斷某一類三角形是否「必然相似」時，先把角度列出來，再看角度組合是否固定。 三角形的條件角度特徵是否必然相似 正三角形三內角皆為 60°是，可用 AA 判定 等腰直角三角形三內角為 45°、45°、90°是，可用 AA 判定 等腰銳角三角形兩底角相等，但頂角未固定否，角度組合可能不同 有一角為 15°的直角三角形第三角為 180°－90°－15°＝75°是，三內角固定為 15°、75°、90° 等腰三角形若頂角為 θ，兩底角各為（180°－θ）÷2。「等腰」只保證同一個三角形的兩底角相等，不保證不同三角形的頂角相等。例如 50°、65°、65°與 80°、50°、50°都是等腰銳角三角形，但兩者不相似。要否定「所有皆相似」，只要找到一組反例即可。 同理，「所有等腰三角形」「所有直角三角形」「所有銳角三角形」都不必然相似；「所有等腰直角三角形」「所有正三角形」「有一銳角為固定度數的所有直角三角形」則必然相似。 二、對應邊成比例：求未知邊的基本方法 若 △ABC∼△DEF，則 AB／DE＝BC／EF＝AC／DF。求未知邊 x 時，只需選取兩組對應邊：一組含未知數，另一組兩邊皆已知，即可列比例式。 標出相等角：利用題目給定的角、共用角、對頂角，或平行線形成的同位角與內錯角尋找相等角。使用平行線性質前，必須先確認平行條件。 寫出對應頂點：依相等角配對，寫成順序正確的相似式。 辨認邊長範圍：確認標示的數字代表整條邊，還是其中一段。若需要整條邊，先用線段加減求出。 同方向列比例：各比值都採「第一個三角形的邊／第二個三角形的對應邊」，再交叉相乘求解。 檢查大小：若已知第一個三角形較大，它的各組對應邊也應按相同比例較長。 例如，兩個相似三角形的一組對應邊長為 6 與 9，另一組為 x 與 15，且對應方向一致，則 6／9＝x／15，所以 x＝10。列式依據是對應關係，不能把看起來靠近或方向相同的兩條邊直接配成一組。 圖形題常見兩種相似型態： 型態圖形特徵相等角來源列式注意 A 字型（子母型）小三角形在大三角形內，兩者共用一個頂角，第三邊平行共用角＋平行線同位角大三角形的邊是「整段」，小三角形的邊是「一段」，必要時要相加 X 字型（沙漏型）兩線段交叉於一點，兩端連線平行對頂角＋平行線內錯角兩三角形位於交點兩側，對應邊要「隔著交點」配對 三、邊長比、周長比與面積比 若兩相似三角形的對應邊長比為 a：b，三組對應邊都按同一比例變化，三邊相加後仍維持此比例，所以周長比也是 a：b。對應的底與高各按 a：b 變化，由三角形面積＝底×高÷2，可得面積比為 a²：b²。 比較項目比例關係已知面積比為 9：16 時 對應邊長比a：b√9：√16＝3：4 周長比a：b3：4 對應高、中線比a：b3：4 面積比a²：b²9：16 由邊長比求面積比，要平方；由面積比求邊長比或周長比，要開平方。例如邊長比為 2：5，周長比就是 2：5，面積比則為 4：25。反過來，面積比為 4：25，邊長比與周長比都是 2：5。 比例的順序要保持一致。若甲與乙的面積比為 9：16，甲與乙的周長比就是 3：4；只有改問乙與甲時，才寫成 4：3。若題目問「面積比值」，就把面積比 a²：b²寫成分數 a²／b²，並注意哪個三角形放在分子。 四、複合圖形：先找角，再找邊，最後處理面積 大三角形內有交叉線段，或要求兩個位置不同的小三角形面積比時，先分別描出目標三角形的邊界。兩直線相交可得到對頂角相等，但一組對頂角相等還不足以判定相似，仍須找到另一組相等角，例如由平行線得到的內錯角，或由已知邊長比推得的條件。 目標三角形之間若無法直接取得對應邊比，可以利用圖中其他三角形作為中間橋梁，先求出所需線段或比例。得到目標三角形的邊長比後，再平方求面積比。每一步都要確認使用的邊確實屬於正在比較的兩個三角形。 此外，兩三角形若共用同一底邊或兩底邊等長，面積比等於高的比；若高相等，面積比等於底邊比。這些是面積公式的直接結果，不需要相似，也不能一律把底邊比平方。 常考陷阱 「同為等腰三角形，所以相似」：這是把各自內部的兩角相等，誤認成兩個三角形之間的對應角相等。等腰銳角、等腰鈍角三角形的頂角都不固定，因此不必然相似；等腰直角三角形的角度固定，因此必然相似。 「同為直角三角形，所以相似」：只有一組 90°相等仍不足夠，還要另一組銳角相等。若另知一角為 15°，就能固定完整的角度組合。 「有一組對頂角，就能判定相似」：AA 必須有兩組對應角相等，不能省略另一組角的理由。 「圖看起來相似，就直接列比例」：圖形外觀只能協助觀察，判定仍須依角度、平行或已知條件。 「把局部線段當成完整邊長」：圖上數字可能只標示邊的一段。列式前先確認端點，必要時加總或相減。 「X 字型照位置配對邊」：交叉圖形中的對應邊位於交點兩側，要依相等角找對應，不能把同一側的邊配成一組。 「比例一邊用大比小，另一邊用小比大」：這會得到倒數。寫完比例式後，逐一核對分子、分母是否來自固定的兩個三角形。 「面積比直接當周長比」：面積比為 9：16 時，周長比應開平方得到 3：4。選 9：16 是忘了開平方；選 81：256 是轉換方向弄反；選 4：3 是前後順序顛倒。 「求面積比值卻忘了平方」：求出邊長比後，面積比值必須平方。選項中常同時出現邊長比與其平方，要看清楚題目問的是面積。 「任何三角形的面積比都等於邊長比平方」：必須先有相似條件；等高的三角形則直接比較底邊長。 記憶口訣 兩角相等判相似，對應排好再求值；邊比周比都相同，面積平方要記清。 邊到面，平方算；面回邊，開方還。整段分段先看清，比例順序不倒轉。