相似多邊形與矩形比例

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建立於 2026年11月10日

學習重點 掌握相似多邊形的兩項條件：對應角相等、對應邊成比例，兩者缺一不可，不能只憑外觀或圖形名稱判定。 區分「等量增加」與「等比例放大」：放大、縮小必須讓所有對應邊乘上同一個倍率，看除法不看減法。 判斷長方形是否相似時，比較各自的長邊與短邊之比，圖形旋轉後仍可對應。 能由長方形對半分割後仍相似的條件建立比例式，求出長邊與短邊的比值為 √2。 核心觀念 一、相似多邊形：角與邊必須同時檢查 兩個多邊形相似，是指它們形狀相同，大小可以不同。在頂點依相同順序對應的情況下，必須同時符合：各組對應角分別相等，而且各組對應邊的比值都相同。這個共同的比值稱為相似比；比值為 1 時，兩圖形全等，也屬於相似。 判斷時，要先確定頂點與邊的對應關係，再檢查角度及邊長。不能為了湊出相同的比值，就任意更換某一組邊的對應。 判斷「任意兩個某類圖形是否必相似」時，關鍵是：這類圖形的角度與邊長比例是否已被完全固定。只要還能在同類圖形中改變形狀，就不是必相似。 圖形或已知條件是否必相似判斷理由 任意兩個正六邊形是每個內角都是 120°，各自六邊等長，因此所有對應邊具有共同的比值。 任意兩個等腰直角三角形是三個角都是 45°、45°、90°，由三角形的角角相似判定可知相似。 任意兩個正三角形、任意兩個正方形是角度固定且各邊等長，形狀完全固定。 任意兩個等腰梯形不一定等腰只限制同一梯形的兩腰等長，底角大小與上下底比例都可改變，不能保證對應角相等或對應邊成比例。 任意兩個等腰三角形、直角三角形、菱形、長方形不一定仍有角度或邊長比例可以變動，形狀不固定。 兩個對應邊分別相等的五邊形不一定雖然對應邊的比值都是 1，但對應角仍可能不同，不能保證相似。 正多邊形必須邊數相同，才可直接判定必相似。例如任意兩個正六邊形必相似，但不能把這項結論擴大成「任意兩個正多邊形必相似」。 三角形具有特殊的相似判定方法，例如三邊成比例即可判定相似；但這項性質不能直接套用到四邊形、五邊形等一般多邊形。多邊形即使邊長固定，角度與形狀仍可能改變（例如邊長相同的正方形與菱形）。 二、放大與縮小：檢查倍率，不是檢查差值 圖形放大或縮小後，各組對應邊必須乘上同一個正倍率。例如以大圖邊長除以小圖對應邊長，所得比值必須全部相等。對一般多邊形，仍須確認對應角相等；若已知兩圖都是長方形，四個角均為直角，就只需進一步檢查邊長比例。 若小長方形位於大長方形內部，而且四周各留 5 公分，則內部的長與寬都要扣掉兩側的距離：長為 40－2×5＝30 公分，寬為 20－2×5＝10 公分。邊界距離只是用來求出尺寸的資訊，最後仍要用比例判斷是否相似。 比較對應邊可得：40 ÷ 30＝4／3，20 ÷ 10＝2。兩個倍率不同，因此大長方形不是小長方形的放大圖。也可以比較各自的長寬比：大圖 40÷20＝2，小圖 30÷10＝3，不相等，同樣不相似。 雖然 40－20＝30－10＝20，這只表示兩個長方形各自的長、寬差相同，不能證明形狀相同。同樣地，長與寬各增加相同的公分數，也不代表按相同比例放大。 在「判斷學生說法何者正確」的題型中，要同時檢查結論與理由。即使結論是「不是放大圖」，若理由寫的是「四周距離都是 5 公分」，這並不是相似判定的依據，仍屬錯誤說法；正確的理由必須是對應邊的比值不相等。 三、長方形相似：統一比較長邊與短邊 長方形的四個內角都是 90°，因此兩個長方形是否相似，關鍵在於長短邊比例。設兩個長方形的長邊、短邊分別為 L、W 與 a、b，則相似的條件為： L／W＝a／b，也可寫成 L／a＝W／b，或用交叉相乘檢查 L×b＝W×a。 圖形旋轉不會改變形狀。因此，不能只把圖面上的水平邊與水平邊相比。最穩定的做法是先辨認每個長方形的長邊與短邊，再統一計算「長邊 ÷ 短邊」。 例如原長方形的長、寬為 10、4 公分，其長短邊比為 10／4＝5／2（即 2.5）。任何分割出來的小長方形，只要長邊除以短邊等於 5／2，就與原圖相似；即使擺放方向不同，也應計入。若小長方形是正方形（比值為 1）或比值為其他數，就不相似。 遇到分割圖，可依序處理： 由總長、總寬及圖中標示，推算每個小長方形的兩邊長（未標示的邊用總長扣除已知部分求得）。 辨認每個小長方形的長邊與短邊。 逐一計算「長邊 ÷ 短邊」，與原圖的比值比較，相等的才計數。 不能因為小圖都由同一個大長方形切出，就認為它們都與大圖相似；也不能認為切出來的都不相似。必須逐一計算。 四、對半分割仍相似：建立旋轉後的比例 設原長方形的長邊為 L、短邊為 W，且 L＞W。將長邊等分為兩段後，每張小長方形的兩邊為 L／2 與 W。若小長方形仍與原圖相似，其對應方向必須轉換：原圖的長邊 L 對應小圖的 W，原圖的短邊 W 對應小圖的 L／2。 因此可列出： L／W＝W／（L／2）＝2W／L交叉相乘得 L²＝2W²，因此（L／W）²＝2。由於邊長為正，得到 L／W＝√2，所以長邊與短邊之比為 √2：1（約 1.414）。 這也確認 W＞L／2，因此分割後的小長方形確實以 W 為長邊、L／2 為短邊。A4 對半成 A5、A3 對半成 A4，都利用這個性質，所以各種 A 系列紙張彼此相似。 對半分割讓面積變為原來的 1／2，而相似圖形的面積比等於邊長比的平方，所以小圖對大圖的邊長比為 1／√2，也可由此快速驗證答案。 常考陷阱 「兩個都是同一類圖形，所以必相似」：同為長方形、等腰梯形、等腰三角形都不足以保證相似；只有角度與邊長比例已完全固定的圖形（如同邊數正多邊形、等腰直角三角形）才必相似。 「正六邊形必相似，所以正多邊形都相似」：邊數不同的正多邊形，角度不同，不相似。 「對應邊都相等，所以多邊形必相似」：一般多邊形還須確認對應角。不能將三角形的三邊判定直接推廣到五邊形。 「長、寬相差一樣，所以是放大圖」：相似看除法所得的倍率，不看減法所得的差。長寬差相同、對應邊增加量相同，都不足以保證相似。 「結論對就選它」：選學生說法時，理由必須是「對應邊比值不相等」；以「四周距離相同」當理由是錯的。 「四周各留 5 公分，所以每個尺寸只減 5」：一個尺寸橫跨兩側邊界，應減去 5＋5＝10 公分。 「一組對應邊成比例就夠了」：長方形的長與寬必須使用相同倍率；只驗證一組邊，無法排除圖形被單方向拉長。 「旋轉後就不相似」：旋轉不影響相似性。分割圖尤其容易出現小圖長邊與原圖長邊方向不同的情況，計數時不可漏算。 「面積減半，長寬也都減半」：長寬都減半會使面積變成原來的 1／4。對半後仍相似時，邊長倍率是 1／√2。 「對半後的長寬比是 2」：比例式求得的是長寬比的平方等於 2，還要取正平方根，答案才是 √2。 記憶口訣 相似角要同，對邊倍率同；矩形比長短，旋轉也能算。 等差不等比，留邊扣兩旁；對半仍相似，長短根二比。