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學習重點 辨認相似梯形的對應頂點、對應底邊與對應腰，先確認對應關係，再列比例式。 掌握共用底邊在兩個相似梯形中的不同角色，利用連續比例求出中間底邊與相似比。 區分「兩段之比」與「一段對全長之比」，避免計算正確卻回答錯誤的線段比。 利用摺紙前後面積不變、摺疊層數及對稱性，計算剪除與展開後的面積。 熟記相似形的面積比等於對應邊長比的平方，並能配合三角形中點連線使用。 核心觀念 一、相似梯形：先找對應邊，再找比例 兩個梯形相似，代表對應角相等，且所有對應邊的長度比都相同。解題時，應先沿著圖形的頂點順序，辨認短底對短底、長底對長底，以及兩組對應腰；不能只因為兩條線段都畫在上方，便認定它們互相對應。 若題目以依序對應的頂點命名兩個相似梯形，例如梯形 AEFD 與梯形 EBCF，則頂點對應為 A 對 E、E 對 B、F 對 C、D 對 F。因此，AE 對應 EB、EF 對應 BC、FD 對應 CF、DA 對應 FE。應將這些對應關係標回圖上，再處理數值。 共用線段的長度雖然相同，卻可能在兩個圖形中分別扮演不同的對應角色。例如 EF 在小梯形中是長底，對應大梯形的長底 BC；在大梯形中則是短底，對應小梯形的短底 DA。這正是建立連續比例的關鍵，不能因為兩圖共用 EF，就判斷相似比為 1。 二、共用底邊：由連續比例得到幾何平均數 當圖中的三條平行底邊依序為較短底、中間共用底及較長底，設其長度分別為 a、x、b。若兩個相似梯形的底邊對應關係為 a 對 x、x 對 b，則可列出： a：x＝x：b，因此 x²＝ab，x＝√(ab)。 這表示中間共用底邊是兩端底邊的幾何平均數，不是算術平均數。若兩端底邊長為 4 與 9，則 x²＝4×9＝36，所以 x＝6；不能直接取平均得到 6.5。 此時兩個梯形的相似比，依「較小梯形：較大梯形」的方向計算，為 4：6＝6：9＝2：3。由於所有對應邊皆成相同比例，對應腰上的分段比也為 2：3，例如 AE：EB＝2：3、DF：FC＝2：3。求腰上的分段比，通常不必求出腰的實際長度。 一般而言，在上述對應配置下，較小梯形與較大梯形的相似比為 a：√(ab)，也可寫成 √a：√b。使用這個結果以前，必須先確認圖形確實滿足上述底邊對應關係。 三、分段比與全長比：看清楚比較的對象 若 A、E、B 依序位於同一直線上，且 AE：EB＝2：3，可設 AE＝2t、EB＝3t，則 AB＝5t。所求線段不同，比例也隨之不同。 比較對象比例判斷方式 AE：EB2：3前段對後段 AE：AB2：5前段對全長 EB：AB3：5後段對全長 EB：AE3：2原比例顛倒 因此，求得相似比後，還要再看一次題目指定的線段與先後順序。尤其選項同時出現 2：3 與 2：5 時，通常是在檢查是否把「另一段」誤認為「全長」。 四、兩腰中點連線：邊長減半，面積剩四分之一 三角形兩邊中點的連線平行於第三邊，且長度為第三邊的一半。沿兩腰中點連線切開等腰三角形時，靠近頂點的小三角形與原三角形相似，對應邊長比為 1：2。 相似形面積比＝對應邊長比的平方。因此，小三角形與原三角形的面積比為 1²：2²＝1：4。移除頂端小三角形後，留下的梯形占原三角形面積的 3／4。 這裡的「一半」是線段長度的一半，不是面積的一半。面積同時受底與高影響：底變為一半，高也變為一半，面積便變為原來的 1／4。 五、摺紙與剪紙：分清單層面積與整張面積 摺紙只是把紙張重疊，並未移除紙張，因此整張紙的總面積不因摺疊改變；但摺好後看到的平面輪廓面積會縮小。正方形沿對角線對摺，得到兩層的等腰直角三角形；再將此三角形對摺，得到四層重疊、更小的等腰直角三角形，輪廓面積為原正方形的 1／4。 兩次對摺後的等腰直角三角形，其直角頂點正是原正方形的中心，兩腰分別是原正方形兩條對角線的一半，腰長為 10√2÷2＝5√2。「上半部三角形」指靠近這個直角頂點的小三角形。 邊長為 10 的正方形，原面積為 10×10＝100；兩次對摺後的三角形輪廓面積為 100÷4＝25。沿兩腰中點連線剪去頂端小三角形，每一層剪去的面積為 25×1／4＝25／4。剪刀同時剪穿四層，因此整張紙共剪去 4×25／4＝25，展開後剩下面積為 100－25＝75。 也可直接用比例思考：每層都剪去原來的 1／4，因此整張紙也剪去 1／4，留下 3／4；100×3／4＝75。兩種算法應得到相同結果。 從展開圖形來看，四個被剪去的小三角形都以正方形中心為直角頂點，展開後拼成正方形中央一個邊長為 5 的正方形洞，面積 5×5＝25，與上述計算一致。能想像展開後的形狀，有助於檢查答案是否合理。 常考陷阱 把兩端底邊比直接當成相似比：4：9 比較的是跨越兩個相似梯形的兩端底邊。應先利用共用底邊建立 4：x＝x：9，求得相似比為 2：3。 把中間底邊當成兩底的算術平均：梯形中位線長才是兩底和的一半，且須有兩腰中點的條件。相似梯形的共用底邊應由對應邊比例求出，不能套用中位線公式。 只憑圖形朝向判斷對應邊：相似圖形可能經過旋轉或翻轉，應依頂點順序與角的對應關係配對。 把分段比改成一段對全長：兩段為 2：3，合起來是 5 份；2：5 回答的是前段占全長的比例。 把中點剪裁解讀成面積減半：中點給的是邊長比 1：2，面積比必須平方，為 1：4。直接減半會誤得剩餘面積 50。 把剪掉的面積當成剩餘面積：剪去占原紙的 1／4，留下占 3／4；原面積為 100 時，25 是移除面積，75 才是剩餘面積。 只扣除一層的剪裁面積：若先算摺好後單層小三角形的面積，就必須乘以四層；若已直接用整張紙的剪除比例計算，就不能再乘一次層數。 搞錯剪去的位置：被移除的是靠近直角頂點（正方形中心）的小三角形，展開後是中央的正方形洞，不是四個角被剪掉。 記憶口訣 相似先對應，共底列連比；分段看全長，面積要平方。 中點邊折半，小角占四一；兩摺共四層，剪留要分清。