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學習重點 掌握相似圖形的比例：對應邊長比為 a：b，周長比就是 a：b，面積比則為 a²：b²。 分清楚「形狀相似」與「面積相等」：面積是大小的量，不能單靠面積判斷形狀是否相似。 比較圓形或扇形面積時，先確認直徑、半徑與圓心角；兩圓切成相同等份後，各一片的面積比仍等於原來兩圓的面積比。 處理反覆分割或摺壓的圖形，要同時計算「每個小圖形縮小多少」與「小圖形增加為幾個」，再比較總周長、總面積。 核心觀念 一、相似看形狀，面積看大小 相似圖形可理解為同一形狀按固定倍率放大或縮小，必要時再平移、旋轉或翻轉。以多邊形而言，必須符合對應角相等、對應邊長成比例，不能只看面積或某一條邊。 面積相同的兩個圖形，不一定相似。例如，邊長為 2 的正方形與長為 4、寬為 1 的長方形，面積都是 4，但兩者的長寬比例不同，因此不相似。另一方面，兩個全等的正方形既面積相同，也彼此相似。所以「不一定相似」表示可能相似，也可能不相似，不能改說成「一定相似」或「一定不相似」。 面積不同的兩個圖形，仍可能相似。例如，邊長為 1 與邊長為 2 的兩個正方形，形狀相似，面積卻分別為 1 與 4。所有正方形彼此相似，所有圓也彼此相似，尺寸不同不會破壞相似關係。 已知條件可以作出的判斷理由 只有面積相同不一定相似相同面積可能由不同形狀構成。 只有面積不同仍可能相似同一形狀放大、縮小後，面積會改變。 已知相似，且面積相同相似倍率為 1，兩圖形全等面積比為 1，對應邊長比也為 1。 判斷這類「甲乙丙丁」敘述時，只要記住：「一定」要能對所有情形成立，舉出一個反例就推翻；「可能」或「不一定」只要找到一個符合的例子就成立。因此「面積相同一定相似」「面積不同一定不相似」都錯；「面積相同不一定相似」「面積不同可能相似」都對。 二、邊長、周長與面積的比例 若兩個相似圖形的對應邊長比為 a：b，因為每一段對應邊都按相同比例改變，將邊長相加後，周長比仍為 a：b。面積則同時受到兩個方向的伸縮影響，因此面積比為 a²：b²。 例如，對應邊長比為 3：4，周長比就是 3：4，面積比則是 9：16。反過來，若已知兩圖形相似，面積比為 9：16，對應邊長比與周長比都是 3：4。 要注意，這些比例關係的使用前提是兩圖形相似。一般圖形即使面積相等，也不能直接推論周長相等；即使周長相等，也不能直接推論面積相等。 三、圓與等分扇形的面積比 圓面積為 πr²，若用直徑 d 表示，則圓面積為 πd²／4。因此，兩圓的面積比既可用半徑比平方計算，也可用直徑比平方計算，不必先求出實際面積。例如直徑 9 與 12，直徑比先化簡為 3：4，面積比為 9：16（即 81：144）。 若兩個圓各切成 m 等份，每一片的面積都是各自圓面積的 1／m。比較各一片時，相同的 1／m 會約去，所以單片面積比等於整圓面積比。 從相似的角度看，兩圓各切成相同等份，單片扇形的圓心角相同，兩片扇形相似，面積比就是半徑比的平方。若等分數不同，圓心角便不同，不能直接套用這個結論。 更一般地，若兩圓直徑分別為 d₁、d₂，各切成 m、n 等份，則各取一片的面積比為（d₁²／m）：（d₂²／n）。先確認等分數是否相同，是避免漏算的關鍵。 四、分割或摺壓後，要把小圖形的數量算進去 設原圖形周長為 P、面積為 A。操作後形成 N 個互不重疊的小圖形，每個都與原圖形相似，且邊長為原來的 k 倍，則每個小圖形的周長為 kP，面積為 k²A。因此： 各小圖形周長的總和＝NkP。 各小圖形面積的總和＝Nk²A。 這裡的周長總和，是將每個小圖形的周長相加。若題目問的是組合圖形的外圍周長，還必須檢查是否有共用邊；共用邊位於內部，不能當作外圍重複計算。若小圖形只在頂點相連，沒有共用邊，就不需要扣除邊長。 五、正三角形反覆摺壓的變化 用一條鐵絲圍成正三角形，把其中一個頂點摺到對邊中點後壓平，鐵絲會形成兩個只在一點相連、互不重疊的小正三角形。此時小正三角形的數量變成 2 倍，每個小正三角形的邊長變成原來的 1／2。每一輪操作的變化如下： 比較項目每輪的計算變化結果 小正三角形數量乘以 2增加為 2 倍 每個小正三角形周長乘以 1／2縮小為一半 總周長2 × 1／2＝1不變 每個小正三角形面積乘以（1／2）²＝1／4縮小為四分之一 總面積2 × 1／4＝1／2縮小為一半 若總共操作 n 輪，小正三角形共有 2ⁿ 個，每個邊長為最初的（1／2）ⁿ 倍，總周長仍為 P，總面積則為 A／2ⁿ。例如共操作 4 輪，就有 16 個小正三角形，總面積只剩原來的 1／16。 另一個更直觀的角度：總周長就是鐵絲的長度，鐵絲沒有剪斷也沒有增加，所以總周長必然不變；但同樣長度的鐵絲分成越多個小圈，圍出的面積越小。因此，只要進行過操作，便能判斷總周長不變、總面積變小。若只問增減，不必逐一畫出所有小三角形。 常考陷阱 把「面積相同」當成「形狀相似」：面積只是一個數值，無法決定角度與邊長比例。遇到「一定相似」，可用等面積的正方形與長方形作反例。 把「不一定」看成「一定不」：不一定相似，包含相似與不相似兩種可能；判斷「可能」成立，只須找到一個符合條件的例子。 認為面積不同就不能相似：相似允許尺寸改變。只要放大縮小的倍率不是 1，形狀保留而面積改變，例如大小不同的正方形或圓。 直接把直徑比當成面積比：直徑屬於長度，面積比必須平方。直徑比 9：12＝3：4，面積比是 9：16，而不是 9：12。 認為都切成相同片數，單片就一樣大：等分只表示每片占各自整體的比例相同；原來的圓面積不同，單片面積仍不同，選「1：1」是錯的。 只算每個小圖形，漏掉數量增加：每個周長減半，但數量加倍，總周長不變，誤選「總周長變小」就是漏乘數量；每個面積變成四分之一，數量加倍後，總面積只剩一半，不是不變。 把鐵絲長度守恆誤當成面積守恆：鐵絲長度對應邊界長度，圍成的面積可以改變。摺壓形成的新圖形，不能直接套用「完整拼回原圖」的面積不變想法。 看到「相連」就扣共用邊：頂點相接沒有共用邊長；只有確實共用線段時，計算外圍周長才須扣除內部邊界。 記憶口訣 「邊比照用算周長，面積比例要平方；分成幾個乘回去，共邊外圍看清楚。」 「同面積，未必同形；不同面積，仍可相似。」 「鐵絲不斷周長在，圈越多來面積衰。」