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學習重點 掌握等速運動的基本關係：路程＝速率×時間。速率固定時，路程與經過時間成正比。 辨認「同時、同地出發、方向固定」的條件。符合時，兩物體的直線距離與經過時間成正比，可用比例解題。 理解同向追及的速度差，就是兩者間距「每單位時間縮短多少」，因此追及時間＝初始距離÷速度差。 分清「再經過」與「共經過」，並用單位檢查算式，避免用錯時間基準，或把分子、分母顛倒。 核心觀念 一、等速運動：先確定速率與方向是否固定 等速直線運動是物體沿固定方向、以固定速率前進。基本公式為路程＝速率×時間。同一物體速率不變時，經過時間變成原來的幾倍，行進路程也變成原來的幾倍。 例如，從出發起算，飛行時間由3分鐘變成7分鐘，路程就變為原來的7／3倍。這裡比較的是從同一出發時刻算起的總時間，不能把其中一段新增時間直接當成總時間。 「路程」是沿實際路徑走過的長度；「兩物體的直線距離」是兩個當下位置之間的最短距離。兩者意義不同。不能把兩物體各自的路程直接相加或相減，就當作它們的直線距離。 二、同時同地出發：不同方向也能用時間比例 兩物體若同時自同一點出發，各自沿固定方向等速前進，即使方向不同，兩者的直線距離仍與出發後經過的時間成正比。 原因如下： 從共同出發點看，兩物體離出發點的距離都隨時間以相同倍率增加。 兩條飛行方向之間的夾角固定不變。 因此，共同出發點與兩物體位置構成的三角形，在不同時刻互為相似三角形。兩物體間的連線長度，也跟著時間等比例放大。 可直接使用：後來距離／原來距離＝後來總時間／原來總時間。寫成計算式為後來距離＝原來距離×後來總時間÷原來總時間。 例如，出發3分鐘後兩物體相距300公尺，再經過4分鐘，此時從出發算起共經過7分鐘，距離為300×7÷3＝700公尺。計算關鍵是共同出發後的總時間，不必先求出兩者各自的速率。 也可以先求「距離每分鐘增加多少」：300÷3＝100公尺／分鐘，再乘以總時間7分鐘，同樣得到700公尺。這個100公尺／分鐘是兩物體間直線距離的增加率，不是其中任何一個物體的飛行速率。 三、判斷哪些資料真正需要使用 題目可能同時提供多個物體、不同方向及速率比。解題時先確認兩件事： 所問的是哪兩個物體的距離。 題目是否已給出這兩者在某個時刻的距離。 若已符合「同時同地出發、各自固定方向等速前進」，又已知某時刻的直線距離，就能用時間比例求出另一時刻的距離。此時，個別速率比、其他物體的位置與飛行方向，可能都不必代入計算。看到東、東北、北等方向，不需要立刻使用畢氏定理或三角函數。 但這個正比關係不能套用到所有等速運動。兩物體起初若不在同一點，距離未必與經過時間成正比；方向若中途改變，也必須重新分析。 四、同向追及：速度差就是距離縮短率 兩車沿同一直線、同方向等速前進，快車在慢車後方時，快車每單位時間多走的路程，正好等於兩車間距縮短的長度。因此，同向追及的相對速度＝快車速度－慢車速度。 若快車每小時比慢車多走x公里，兩車起初相距y公里，兩車間距就每小時縮短x公里。要把y公里的間距縮短到0，所需時間為y÷x＝y／x小時。 也可以從間距的變化理解：尚未追上時的間距＝初始距離－速度差×經過時間。追上時兩車位置相同，間距為0，所以速度差×追及時間＝初始距離。 這個追及公式有前提：後車較快，且初始距離與速度差皆為正。兩車一樣快而原本有間距時，間距維持不變；後車較慢時，間距會逐漸增加。這兩種情況在持續等速同向前進下都追不上。 情境距離變化的關鍵計算方式 同時同地出發，各沿固定的不同方向等速前進直線距離與出發後總時間成正比新距離＝原距離×新總時間÷原總時間 同一直線同向，快車在後每單位時間以速度差縮短間距追及時間＝初始距離÷速度差 同一直線相向而行每單位時間以速度和縮短間距相遇時間＝初始距離÷速度和 常考陷阱 把「再經過」當成「總共經過」：已飛行一段時間後再經過另一段時間，要先把兩段時間相加。已過3分鐘再過4分鐘，距離倍率是7／3，不是4／3。用4／3計算會得到400公尺，這是錯誤選項。 只算出新增距離就作答：距離增加率乘上新增時間，得到的只是這段期間增加的距離（100×4＝400公尺）。題目問最後兩物體相距多少時，還要加回原有的300公尺，得700公尺。直接用總時間計算，較不容易漏加。 以為方向不同就不能用比例：只要同時同地出發，且各自方向與速率固定，兩者位置構成的圖形會等比例放大，直線距離就能用時間比例推算。 看到速率比就認為一定要用：先看已知距離是否足以建立時間比例。多餘資料不必硬套，第三個物體的資訊也不影響所問兩者的距離。 同向追及誤用速度和，或任意除以2：同向時前車也在前進，後車每小時只能縮短「比前車多走」的那段距離。題目沒有中點、分攤距離等條件，就沒有乘2或除以2的依據，因此x／2y、y／2x都是錯誤選項。 把速度差÷初始距離當成時間：距離單位為公里、速度差單位為公里／小時時，公里÷（公里／小時）才得到小時。反過來的x／y，單位是「每小時」，不是時間。 以為一定要求出兩車各自速度：追及只需要初始距離與速度差。已知「快多少」就能計算，不必另外設兩車的完整速度。 記憶口訣 同地同時方向定，距離跟著時間乘；再過先加總時間，同向追及除速差。