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學習重點 以定義與性質判斷四邊形，不受圖形擺放方向、外觀是否傾斜影響。 掌握矩形的「四個角都是直角」、菱形的「四邊等長」，理解正方形同時符合兩者的定義。 辨認包含方向：正方形都是矩形，也都是菱形；矩形與菱形又都是平行四邊形。 熟記菱形的兩組對邊分別平行，以及兩條對角線互相垂直、互相平分的性質。 看清「必定」「可能」「不一定」「一定不」等用語，區分普遍成立的性質與只有部分圖形符合的條件。 核心觀念 一、先依定義分類：邊長與角度是兩條判斷主軸 四邊形的名稱可以同時成立，並非每個圖形只能歸入一類。本單元採用包含式分類：只要符合某類圖形的定義，就屬於該類；即使還具有其他特殊性質，也不會失去原本的身分。 圖形定義或判斷依據分類重點 平行四邊形兩組對邊分別平行的四邊形不要求四邊等長，也不要求四個角都是直角 矩形（長方形）四個角都是直角的四邊形兩組對邊分別平行且等長，但四邊不一定等長 菱形四邊等長的四邊形兩組對邊分別平行，但四個角不一定都是直角 正方形四邊等長，且四個角都是直角的四邊形同時具備矩形與菱形的條件 本單元中的「矩形」與「長方形」視為同義。判斷時不要額外添加「相鄰兩邊必須不等長」的限制；矩形的相鄰兩邊可以等長，等長時就是正方形。同樣地，菱形也沒有「一定要有斜角」或「不能有直角」的限制。 二、正方形同時屬於矩形與菱形 要判斷一個四邊形是否既是矩形，也是菱形，必須同時檢查兩組條件：矩形要求四個角都是直角，菱形要求四邊等長。兩組條件合在一起，正好就是正方形的定義。 因此，每一個正方形都必定是矩形，也必定是菱形；反過來，若一個四邊形同時是矩形與菱形，也必定是正方形。可以說，矩形與菱形共同的部分就是正方形。 一般平行四邊形只保證兩組對邊分別平行，無法保證四邊等長或四個角都是直角。只憑梯形或箏形的名稱，也不能保證同時滿足這兩項條件。遇到「必定同時屬於兩類」的問法，應直接把兩類的定義合併檢查。 三、包含關係有方向，不能倒過來讀 「甲是乙的一種」表示所有甲都屬於乙，也就是甲的範圍包含在乙的範圍內。特殊圖形增加了限制條件，因此範圍較小；一般圖形的限制較少，因此範圍較大。 正方形是矩形的一種：正方形的四個角都是直角，符合矩形的定義。 正方形是菱形的一種：正方形的四邊等長，符合菱形的定義。 矩形與菱形都是平行四邊形的一種：兩者都有兩組對邊分別平行。 反向敘述則不一定成立。矩形可能長、寬不同，因此不一定是正方形；菱形可能沒有直角，因此也不一定是正方形。矩形與菱形之間也沒有誰完全包含誰：不是所有矩形都是菱形，也不是所有菱形都是矩形。兩者只有在符合正方形條件時才重疊。 由大到小的包含順序可整理為：四邊形 ⊃ 平行四邊形 ⊃ 矩形、菱形 ⊃ 正方形（矩形與菱形為並列關係，交集是正方形）。 四、菱形的邊、角與對角線性質 菱形的基本條件是四邊等長，並具有下列必然性質： 兩組對邊分別平行：因此每一個菱形都是平行四邊形，不會出現某一組對邊不平行的情形。 兩組對角分別相等：相鄰兩角的和為180度，但每個角不一定都是90度。 對角線互相平分：兩條對角線的交點，同時是兩條對角線的中點。 對角線互相垂直：兩條對角線相交所形成的角都是90度。 「對角線互相垂直平分」包含垂直與互相平分兩件事。若兩條對角線分別為AC、BD，交點為O，則AO＝OC、BO＝OD，且兩條對角線垂直。這不代表AC＝BD，也不代表AO、BO、CO、DO四段全部等長。反過來，若一個四邊形的兩條對角線互相垂直平分，它就是菱形。 圖形對角線互相平分對角線互相垂直兩條對角線等長 一般平行四邊形一定不一定不一定 矩形一定不一定一定 菱形一定一定不一定 正方形一定一定一定 正方形也是菱形，所以同樣具有對角線互相垂直平分的性質。一般菱形的兩條對角線不一定等長；當菱形的兩條對角線等長時，該菱形就是正方形。 常考陷阱 「菱形一定不為正方形」：錯在把兩類圖形視為互斥。菱形可以是正方形，也可以不是正方形；「不一定是」不能改成「一定不是」。 「菱形有一組對邊不平行」：菱形的兩組對邊都分別平行，不能因圖形傾斜，就誤認為邊不平行。 「菱形不一定是平行四邊形」：每一個菱形都符合平行四邊形的定義，因此應判為「一定是」。反過來，平行四邊形才是「不一定為菱形」。 「長方形是正方形的一種」或「菱形是正方形的一種」：包含方向顛倒。正確方向是正方形分別屬於長方形與菱形，也就是「正方形是菱形的一種」「正方形是長方形的一種」。 「菱形是長方形的一種」：四邊等長不能保證四個角都是直角。只要想到沒有直角的菱形，就能否定這項全稱敘述。 把「互相平分」看成「兩條等長」：平分是各自被切成相等的兩段，不是在比較兩條完整對角線的長度。 把「可能」當成「必定」：某些平行四邊形確實是正方形，但不能據此宣稱所有平行四邊形都同時是矩形與菱形。判斷必然敘述時，只要找得到一個反例，就能否定。 依外觀判斷名稱：正方形旋轉後仍是正方形，也仍是矩形與菱形。方向改變不會改變邊長、角度或平行關係。 記憶口訣 「矩形看直角，菱形看等邊；兩樣都具備，正方在裡面。」 「菱形四邊等，對邊都平行；對角線相遇，垂直又平分。」 讀包含關係時，記住「特殊屬一般，反向要加條件」：正方形一定是菱形，菱形要再有直角，才能確定是正方形。