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學習重點 先用三角形內角和求出未知角，再依「等角對等邊、大角對大邊」判斷邊長關係。 辨認等腰三角形的頂角、底角、腰與底邊。相等的兩邊要依角的條件判定，不能憑圖形方向猜測。 掌握鈍角等腰三角形的結構：鈍角必為頂角，它的對邊是底邊，也是三角形中最長的邊。 利用「周長＝兩腰和＋底邊」求未知邊，並檢查結果是否同時符合邊角關係。 分析學童解法時，除了指出算式問題，也要說明學童錯認了哪一條邊，並用標示清楚的圖形呈現其想法。 核心觀念 一、判斷邊長之前，先找出各角的對邊 在△ABC中，∠A的對邊是BC，∠B的對邊是AC，∠C的對邊是AB。對邊是不包含該角頂點的那一條邊，不是組成該角的兩條邊。判斷時可先指出角的頂點，再找沒有連到該頂點的邊，避免把鄰邊當成對邊。 同一個三角形中，大角對大邊、小角對小邊、等角對等邊。反過來也成立：較長的邊所對的角較大，相等的邊所對的角相等。這些性質只能比較同一個三角形內的邊角，不能直接拿不同三角形的角度比較邊長。 角的關係對應的邊長關係 ∠A＞∠BBC＞AC ∠A＝∠CBC＝AB ∠A＞∠B＞∠CBC＞AC＞AB 二、先補足內角，再判斷等腰邊 三角形內角和為180°。已知兩角時，第三角＝180°－已知兩角的和。例如∠A＝75°、∠B＝30°，則∠C＝180°－75°－30°＝75°。 由於∠A＝∠C，它們的對邊BC與AB相等。又因75°＞30°，所以AB＝BC＞AC。這個等腰三角形的兩腰是AB、BC，頂角在B，底邊是AC。由此可見頂角不一定是最大的角：頂角只是兩腰所夾的角，在這個例子中反而是最小角。 若圖中標出多個角，應先補齊判斷所需的角度，再逐一配對對邊。若圖形由數個共用邊的三角形組成，要找全圖最長的邊，可分兩步： 在各個三角形內，用「大角對大邊」排出邊的大小。 透過共用邊把結果串接起來，例如得到「某邊＞共用邊＞另一邊」，再比較原本位於不同三角形中的邊。 三、等腰三角形的名稱與位置 等腰三角形有兩邊相等，這兩邊稱為腰。兩腰的夾角稱為頂角，頂角的對邊稱為底邊。底邊兩端的角稱為底角，兩底角相等。設頂角為α、底角為β，則α＋2β＝180°。 底邊由兩腰的位置決定，不一定畫在圖形下方；兩腰也不一定比底邊長。圖形旋轉或翻轉後，頂角、底角與等邊關係都不會改變。 頂角大小與底角的比較底邊與腰的比較 小於60°頂角小於底角底邊短於腰 等於60°三角皆為60°三邊相等 大於60°頂角大於底角底邊長於腰 四、鈍角條件能確定頂角與兩腰 若等腰三角形有一角大於90°，這個鈍角不可能是底角。因為兩底角相等，若其中一個大於90°，另一個也大於90°，兩角和就超過180°。因此，鈍角必為頂角，鈍角兩旁的邊就是兩腰。 以△ABC為例，若∠A＞90°，則A為頂角，AB＝AC，BC為底邊。又因∠A是最大角，它的對邊BC必為最長邊，所以BC＞AB＝AC。判定順序是「鈍角位置→頂角位置→相等兩邊→最長邊」，不必依賴圖形是否畫得標準。 五、依邊的身分列周長式 設腰長為a、底邊長為b、周長為P，則P＝2a＋b。 已知腰長時：底邊＝周長－2×腰長。 已知底邊時：腰長＝（周長－底邊）÷2。 兩種算法都正確，但必須先確認已知邊是腰還是底邊。 例如周長63公分、AB＝17公分，且∠A＞90°。由角的條件可知AB與AC都是腰，所以AC＝17公分，BC＝63－17－17＝29公分。這個結果符合29＞17（底邊最長），也符合三角形兩邊和大於第三邊：17＋17＝34＞29。 六、說明錯誤解法並用圖形呈現其假設 若學童先從周長扣除17，再把剩下的46平均分成兩份得到23，表示他把AB＝17公分當成底邊，認為另外兩邊都是23公分，即AB＝17、AC＝BC＝23。說明錯誤原因時，要點出以下三點： 學童忽略了「∠A＞90°」這個條件。 鈍角∠A必為頂角，所以AB應是腰，AC也是17公分。 BC是底邊，應為63－17×2＝29公分，而不是23公分。 依學童算式作圖時，畫出以AB為底邊的等腰三角形： A標在底邊左端，B標在右端，C標在上方。 AB標17公分，AC與BC各標23公分。 圖中可以看出A落在底角位置。因∠A＝∠B為兩底角，兩角都必小於90°，與∠A＞90°矛盾。另外，此圖中AC、BC都比AB長，最長邊不是∠A的對邊BC，也與「鈍角對最長邊」不符。圖形要呈現學童所想的三邊配置，再指出它違反已知角的條件。 常考陷阱 看見兩角相等，卻選錯相等的邊：∠A＝∠C應推出BC＝AB，不能因為AC含有A、C兩個字母，就判定AC是等邊。先寫出各角的對邊最可靠。 認為頂角一定最大、底邊一定最短：頂角是兩腰的夾角，大小不固定。要判斷底邊與腰誰長，應比較頂角與底角。 只憑圖形外觀找最長邊：示意圖未必按比例繪製，應以已知角度與推得的角度為準，找最大角的對邊。多個三角形時，要透過共用邊串接比較。 任意指定兩條邊相等：「等腰」只說明有兩邊相等，還要結合角的條件判斷是哪兩邊。鈍角在A時，兩腰只能是AB、AC。 直接套用「扣掉已知邊再除以二」：這種算法等於把已知邊當成底邊。若已知邊其實是腰，應再扣除另一條等長的腰，求出底邊。 只檢查周長正確就接受答案：17、23、23的和是63，也能組成三角形，卻不符合A為鈍角的條件。所有已知條件都必須同時成立。 混淆算術錯誤與概念錯誤：算式寫成「46＋2＝23」時，等式本身不成立。即使本意是「46÷2＝23」，仍須指出學童把AB誤認為底邊的幾何錯誤，不能只改運算符號就算完成說明。 記憶口訣 先補角，再對邊；等角等邊，大角長邊。 鈍角等腰看頂點，兩旁是腰、對面最長。 求腰先扣底再除二，求底扣掉兩條腰。