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學習重點 先由內角和、直角記號與等角條件辨認特殊三角形，再使用邊長比，避免把角度比直接當作邊長比。 熟記等腰直角三角形的邊長比為1：1：√2，30°、60°、90°直角三角形的對邊比為1：√3：2。 計算組合圖形面積時，可沿共同邊分割成三角形；各部分分別找出互相垂直的底與高，再將面積相加。 同一三角形改用不同邊當底，面積不變；先用容易計算的底、高求面積，再反求指定邊上的高。 區分角平分線、中線與高；只有在適當條件下，例如等腰三角形的頂角平分線，才可同時具有這些性質。 核心觀念 一、先判定角度，再配對各角的對邊 三角形內角和為180°。若三內角比為1：2：3，可設三角分別為x、2x、3x，則6x＝180°，x＝30°，得到三角為30°、60°、90°，因此可使用特殊直角三角形的邊長比。 角度比通常不等於邊長比。30°、60°、90°的角度比是1：2：3，但其對邊比是1：√3：2。作答時應先依頂點標出角度，再找出各角正對面的邊。例如∠A、∠B、∠C依序為30°、60°、90°，則∠A、∠B、∠C的對邊BC：CA：AB＝1：√3：2。 二、兩種特殊直角三角形的邊長比 類型角度邊長關係面積 等腰直角三角形45°、45°、90°兩股為a、a，斜邊為a√2a²÷2 30°、60°、90°直角三角形30°、60°、90°對邊依序為a、a√3、2aa²√3÷2 等腰直角三角形若已知斜邊為c，則每股為c÷√2＝c√2÷2，面積為c²÷4。不要把斜邊誤當成股長代入a²÷2。 30°、60°、90°直角三角形以30°的對邊為比例基準。若已知斜邊為c，短股為c÷2，長股為c√3÷2；若已知長股為b，短股為b÷√3＝b√3÷3，斜邊為2b÷√3＝2b√3÷3。解題時可先寫成「短股＝a、長股＝a√3、斜邊＝2a」，再用已知長度求a，較不容易配錯。 三、沿共同邊分割，計算四邊形面積 若對角線AC將四邊形ABCD分成內部不重疊的△ABC與△ACD，則四邊形面積＝△ABC面積＋△ACD面積。關鍵是分別辨認兩個三角形的直角位置，共同邊在兩個三角形中的角色可能不同。 若∠B＝90°，則△ABC的兩股是AB、BC，斜邊是AC，面積為AB×BC÷2。若∠ACD＝90°，則△ACD的兩股是AC、CD，斜邊是AD，面積為AC×CD÷2。不能因為共用AC，就把AC在兩個三角形中都視為斜邊。 若另知∠CAD＝30°，則△ACD中∠D＝60°，所以CD：AC：AD＝1：√3：2。此時AC是60°的對邊（長股），CD才是30°的對邊（短股），即CD＝AC÷√3。 先找出每個三角形的直角、已知角與已知邊。 利用特殊邊長比或畢氏定理，求出共同邊及所需的股長。 各自用「兩股乘積÷2」算面積，再將結果相加。 例如，若兩個三角形符合上述角度條件，且另外確定AB＝BC＝s，則AC＝s√2、CD＝s√2÷√3，因此△ABC面積為s²÷2，△ACD面積為s√2×（s√2÷√3）÷2＝s²÷√3＝s²√3÷3，四邊形面積為s²÷2＋s²√3÷3。這個結果必須以AB＝BC為前提，不能只憑圖形看起來對稱就套用；若已知的是其他邊長，仍依同樣步驟先求AC，再求CD。 四、等腰三角形先求底邊上的高 設等腰三角形的兩腰長均為s，底邊長為b。從頂點向底邊作垂線，垂足會平分底邊，形成兩個全等的直角三角形。由畢氏定理可得底邊上的高： h＝√［s²－（b÷2）²］三角形面積S＝b×h÷2。 這裡要先將底邊除以2，再平方；不能寫成s²－b²÷2。使用此方法也必須確定兩腰相等，一般三角形的高不一定平分底邊。 五、等面積法：換底之後，高也要跟著換 同一個三角形不論選哪一邊當底，面積都相同。若以b為底時高為h，以另一邊s為底時高為k，則： b×h÷2＝s×k÷2，因此k＝b×h÷s＝2S÷s。 例如，等腰三角形兩腰均為13、底邊為10，底邊上的高為√（13²－5²）＝12，面積為60。若改求長13的腰所對應的高，則高為2×60÷13＝120÷13。原先的12與後來的120÷13，分別對應不同的底邊。 高是頂點到對邊所在直線的垂直距離，垂足可能在邊上，也可能在延長線上。找不到圖形內部的垂線時，仍可用等面積法求高。同一三角形中，底越長，對應的高越短；但這種反比關係的前提是面積相同。 六、角平分線何時也是高？ 角平分線只保證將一個角分成兩個相等的角，不能直接推論它垂直對邊或平分對邊。若已知AB＝AC，則從頂點A作出的∠BAC角平分線，才同時是底邊BC上的中線與高，可以利用半個底邊及腰長套用畢氏定理求出這條高，再搭配等面積法求其他邊上的高。 常考陷阱 把角度比直接當成邊長比：看到1：2：3應先換算角度；30°、60°、90°的對邊比才是1：√3：2，選項中的「1：2：3」或「1：2：√3」都是常見誘答。 記得數字卻排錯順序：邊長比必須跟題目指定的邊依序配對。先找直角對面的斜邊，再找30°對面的短股。 只因有30°就套用比例：必須同時確定三角形是直角三角形，才可直接使用1：√3：2。 任取兩邊相乘再除以2：底與高必須互相垂直；直角三角形可用兩股，不能直接用斜邊乘任一股。 共同邊的角色判錯：同一線段可能是一個三角形的斜邊，卻是另一個三角形的股，應分開判讀。 換底卻沿用原來的高：指定求哪一邊上的高，就以那一邊作分母，使用高＝2×面積÷底；選項中若出現整數或底邊上的高，常是沒有換底的誘答。 把角平分線當成高或中線：先確認等腰等條件；圖畫得像垂直或像平分，都不能代替已知條件。 過早取小數：含√2、√3的長度與面積先保留根式，必要時將分母有理化（如1÷√3＝√3÷3），完成加總與約分後再比對選項。 記憶口訣 三六九，邊一根三二；等腰直角，一一根二。前半句依序對應30°、60°、90°的對邊；後半句依序對應兩股與斜邊。 先找直角再配邊，分塊面積各自算；同形換底積不變，兩倍面積除新底。