累積次數與累積比例

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建立於 2026年11月10日

學習重點 分清楚「本組」與「累積」：次數、相對次數描述單一組；累積次數、累積相對次數描述由最前一組加到指定組的結果。 掌握「往下相加、相鄰相減」：由各組資料求累積值用加法，由累積值還原各組資料用減法。 運用最後一組的累積次數等於總人數、累積相對次數等於 1 或 100%，求表格中的未知數。 看懂累積次數折線圖，用區間兩端的累積人數差比較各組人數，並正確處理區間端點。 利用「人數＝總人數×比例」換算資料，判斷兩班總人數，以及指定分數以上或區間內的人數。 核心觀念 一、先分辨四種統計量 累積分配通常先將資料依數值由小到大分組，再逐組加總。讀表時要先看欄位名稱與單位，不能只看數字大小。題目常用不同說法指同一件事：「人數」就是次數，「累積人數」就是累積次數，「相對人數」就是相對次數，「累積相對人數」就是累積相對次數。 名稱（常見別稱）代表意義重要性質 次數（人數）某一組的人數各組次數相加等於總人數 相對次數（相對人數）某一組人數占全體的比例各組相對次數相加等於 1，即 100% 累積次數（累積人數）由第一組加到指定組的人數最後一組等於總人數 累積相對次數（累積相對人數）由第一組加到指定組的比例最後一組等於 1，即 100% 例如，某組的相對次數是 20%，表示只有該組占全體的 20%；若該組的累積相對次數是 65%，則表示從第一組到該組合計占全體的 65%，不是該組本身占 65%。 二、累積相對次數分配表：加總求累積，相減求本組 設第 i 組的相對次數為 rᵢ，累積相對次數為 Rᵢ，則： 本組累積相對次數＝前一組累積相對次數＋本組相對次數。 本組相對次數＝本組累積相對次數－前一組累積相對次數。 第一組的累積相對次數，就等於第一組的相對次數。 最後一組的累積相對次數一定是 100%。 例如，相鄰兩組的累積相對次數為 35%、60%，後一組的相對次數就是 60%－35%＝25%。若已知前一組累積為 35%，本組相對次數為 25%，則本組累積為 60%。 遇到表格中的未知數，先確認它位於「相對次數」還是「累積相對次數」欄，再決定相加、相減，或用 100%扣除其他組比例。相對次數整欄可以加總為 100%，累積相對次數整欄不能這樣加總。 若題目給了總人數（例如全班 38 人），也可以把比例換成人數再推算：某組人數＝總人數×相對次數。因總人數不一定能被 100 整除，表中的百分比可能經過四捨五入，計算時應依表格已給的數值與規則運算，不要自行改動已知數字。 另須注意未知數的寫法：若表格標示 a%，則 a 是百分比前的數值；若以小數表示比例，0.25 才等於 25%。求未知數的和時，必須依表格原有的表示方式作答。 三、累積次數分配表：還原人數與求未知數總和 設第 i 組次數為 fᵢ，累積次數為 Fᵢ，總人數為 N，則： Fᵢ＝前一組累積次數＋fᵢ。 fᵢ＝Fᵢ－前一組累積次數。 第一組次數＝第一組累積次數；最後一組累積次數＝N。 若表格同時列出「人數」與「累積人數」，可從已知資料較完整的位置開始，逐列補空格。例如，前一組累積為 9 人，本組有 7 人，本組累積就是 16 人；若相鄰累積為 16 人、22 人，後一組就是 6 人。 要求數個未知數相加時，先標明每個未知數代表本組人數還是累積人數，再建立關係。若相加的是連續數組的本組人數，可直接用「末端累積－起點之前的累積」，不必逐組算完；若未知數包含累積人數，則須依各自定義分別求出再相加，不能直接套用區間相減。 四、累積次數折線圖：比較的是增加量 累積次數折線圖的橫軸表示分組界線，縱軸表示截至該界線所累積的人數。某組人數＝該組上界的累積次數－該組下界的累積次數。 例如，兩個相鄰界線的累積人數分別為 8 人、23 人，兩界線之間的一組就有 15 人。要判斷哪組人數最多，應把各組兩端的累積人數相減，再比較差值。 當各組組距相同時，線段越陡，代表該組增加的人數越多，最陡的那一段就是人數最多的一組。若組距不同，斜率同時受橫向距離影響，不能只憑陡峭程度判斷，仍應比較縱向增加量。水平線段表示累積人數沒有增加，也就是該組人數為 0。 選項常以「35 公斤以上、未滿 45 公斤」的形式描述組別，對應的就是橫軸 35 到 45 這一段；最後一組常寫成「以上、以下」，表示包含最大值。 五、比例換人數、反推總人數與兩班比較 相對次數＝本組人數÷總人數；累積相對次數＝累積人數÷總人數。只要人數與比例指向相同範圍，就能換算： 指定範圍人數＝總人數×該範圍比例。 總人數＝指定範圍人數÷該範圍比例。 例如，低於某分數的有 1 人，其累積相對次數為 0.025，則全班人數為 1÷0.025＝40 人。比較兩班時，應分別用各班資料求總人數；兩班某範圍都只有 1 人，不代表兩班總人數一定相同，要看這 1 人在各班占多少比例，算出後才能判斷兩班人數相同或不同。 求「60 分以上」人數，若已知「低於 60 分」的累積資料，可用全體扣除： 60 分以上人數＝總人數－低於 60 分的累積人數。 60 分以上比例＝1－低於 60 分的累積相對次數。 若求「40 分以上、未滿 60 分」人數，則用「低於 60 分的累積人數－低於 40 分的累積人數」。兩班即使此區間比例相同，人數也未必相同；反過來，人數相同，比例也可能不同，必須各自換算。 表格中若同時出現甲班的累積人數與乙班的累積相對次數，先用已知條件求出乙班總人數，再把乙班的比例換成人數，就能與甲班直接比較。 常考陷阱 把累積值當成本組值：看到累積比例為 70%，就說該組占 70%。判斷關鍵是先扣除前一組的累積比例。 把所有累積值加成總數：累積欄會重複包含前面的資料，不能整欄相加求全班人數或 100%。總數應看最後一組累積值。 用圖上最高點判斷最多的一組：最高點只是累積到最多人的位置。各組人數要比較相鄰點的縱向差。 看到未知數相加就認為等於 1：只有同一全體、互不重複且涵蓋全部資料的各組比例，加總才等於 1。不同班級的比例、兩個累積比例，都沒有必然加總為 1 的關係，必須實際算出各值再相加。 忽略端點是否包含：「以上、以下」包含端點，「未滿、低於」不包含端點。「60 分以上」應扣除「低於 60 分」，若扣除「60 分以下」，會把恰好 60 分的人一起扣掉。 跨班憑直覺判斷人數：「兩班人數不相同」「兩班某範圍各有幾人」這類選項，一定要先各自求出總人數，再用比例換成人數，算完才下結論。 忽略資料合理性：累積值只能增加或不變；相鄰相減不得為負；人數須為非負整數。比例若有四捨五入，換算可能出現微小誤差，應依題目精度判斷。 記憶口訣 本組往下加，累積相鄰減；末格看全體，比例乘人數。 求以上，用全扣；求中間，兩端減；比較組人數，看增加多少。