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學習重點 倍率看對應長度：放大圖或縮圖的倍率，是「新圖對應邊長÷原圖對應邊長」，不是面積的比值。 相似圖形形狀不變：所有對應邊都乘以同一倍率，對應角的角度保持相等。 長度、面積、體積分層計算：長度變為 k 倍，面積變為 k² 倍；立體若等比例縮放，體積變為 k³ 倍。 容量題先找縮放條件：杯子若為等比例縮小版，可由高度比求出長度倍率，再用三次方求容量比。 判斷敘述逐項檢查：先分辨敘述談的是邊長、角度、面積或體積，再套用相應規則。 核心觀念 一、放大與縮小倍率的定義 設原圖為 A，新圖為 B，縮放倍率為 k，則k＝B 圖的某一邊長÷A 圖的對應邊長。因此，B 圖對應邊長＝A 圖對應邊長×k。計算時一定要確認比較的是互相對應的邊，並先統一長度單位。 k＞1：放大圖，例如 k＝4，表示各對應邊長都是原來的 4 倍。 0＜k＜1：縮圖，例如 k＝1/2，表示各對應邊長都是原來的 1/2。 k＝1：大小相同，對應長度與面積都不變。 「4 倍放大圖」的 4 倍指長度倍率。若原圖某邊長為 3 公分，放大後的對應邊長就是 12 公分，不能因為看到「圖形」就把 4 倍理解成面積倍率。同理，「m 倍縮圖」就是各對應邊長都變成原圖的 m 倍（m 為小於 1 的數）。 比較方向也會影響倍率。若 B 是 A 的 4 倍放大圖，則 A 是 B 的 1/4 倍縮圖。兩個方向的長度倍率互為倒數，作答前可先寫出「新圖÷原圖」，避免把倍率顛倒。 二、相似圖形：對應邊成比例，對應角相等 放大圖與縮圖都與原圖相似。相似的關鍵包含：所有對應邊長具有相同的比值，而且對應角分別相等。圖形可以移動或旋轉，不能只憑畫面上的位置判斷對應關係。 例如，原圖某角為 60 度，無論放大為 4 倍，或縮小為 1/2 倍，對應角仍為 60 度。放大改變的是圖形的大小，角的張開程度不變。 平行四邊形也遵守相同規則。若將它等比例放大，各邊及對應的高都乘以相同倍率，對應角保持相等。只有同為平行四邊形，不能保證兩圖相似；若只拉長底邊而未按相同比例改變其他長度，就不能視為等比例放大。 三、面積比是長度倍率的平方 若新圖與原圖的長度比為 k：1，則面積比為 k²：1。原因是面積涉及兩個方向的長度，兩者各乘以 k，面積便乘以 k×k。 以平行四邊形為例，面積＝底×高。等比例縮放後，新底＝原底×k，新高＝原高×k，所以新面積＝原面積×k²。三角形雖然還要除以 2，但縮放前後都有相同的除以 2，面積倍率仍為 k²。 比較項目新圖相對原圖的變化長度放大為 4 倍長度縮小為 1/2 倍 對應邊長、對應高乘以 k4 倍1/2 倍 周長乘以 k4 倍1/2 倍 對應角度保持相等不變不變 面積乘以 k²16 倍1/4 倍 相似立體的體積乘以 k³64 倍1/8 倍 反過來，若已知面積是原來的 4 倍，才能以平方根求得長度是原來的 2 倍。「長度放大 4 倍」與「面積變為 4 倍」是不同條件，必須先辨認題目給的是哪一種量。 四、判斷學童說法的標準流程 題目常給「B 是 A 的 4 倍放大圖、C 是 A 的 m 倍縮圖」，再列出多位學童的說法。可依下表逐項判斷： 說法類型正確的寫法常見錯誤寫法 B 的邊長是 A 對應邊長的 4 倍是 A 的 2 倍（誤開平方） B 的角度和 A 的對應角一樣大是 A 對應角的 4 倍 C 的邊長是 A 對應邊長的 m 倍寫成 m² 倍或其他數 C 的面積是 A 的 m² 倍是 A 的 m 倍（忘記平方） 只要記住「邊長＝倍率、角度不變、面積＝倍率平方」，每一句說法都能獨立判斷對錯，再對照選項組合。 五、相似立體：體積比是長度比的三次方 相似立體的長、寬、高等對應長度，都依同一倍率 k 改變，因此新體積＝原體積×k³。這項規則適用於等比例縮放的立體，不能僅因兩個物體種類相同就直接使用。 圓柱體積＝底面積×高＝π×半徑²×高。若圓柱等比例縮小，半徑與高都變為原來的 k 倍，底面積便變為 k² 倍，再乘上 k 倍的高，體積就是 k³ 倍。 例如，兩個相似圓柱的高度分別為 8 公分與 4 公分，小圓柱相對大圓柱的長度倍率為 4÷8＝1/2，所以體積為大圓柱的 1/8。若杯子的可盛水空間依此等比例縮放，一大杯水就能裝滿 8 個小杯。 「可以裝滿幾杯」應以總水量除以每小杯容量。若小杯容量為大杯的 1/8，杯數便是 1÷（1/8）＝8。也可以改用大杯對小杯的長度比 2：1，直接得到容量比 2³：1＝8：1。 常考陷阱 把 4 倍放大圖說成邊長為 2 倍：這是把長度倍率誤當面積倍率後再開平方。題目已說是 4 倍放大圖，各對應邊長就應為 4 倍。 把對應角度也乘以放大倍率：「邊長變為 4 倍，所以角度也變為 4 倍」是錯誤敘述。相似圖形的對應角相等，角度不隨縮放倍率改變；「角度和原圖對應角一樣大」才是正確說法。 把縮圖面積直接寫成縮小倍率：若長度縮小為 k 倍，面積應為 k² 倍。當 0＜k＜1 時，k²＜k，所以面積占原圖的比例會比長度占原圖的比例更小。「C 圖面積是 A 圖的 m 倍」（與邊長倍率相同）是錯的。 看到分數就只看分母：縮小倍率為 1/2 時，面積是 1/4、體積是 1/8；若倍率為其他分數，應將整個分數平方或立方。例如倍率為 2/3，面積倍率為 4/9，體積倍率為 8/27。 只由高度變化判定所有圓柱的體積比：必須有「等比例縮小」或其他足以確定半徑比的條件，才能把高度比立方。若只有高度改變、底面積不變，體積才會與高度成正比。 把高度比或底面積比當成容量比：相似圓柱高度減半時，半徑也減半，底面積變成 1/4，體積再乘以 1/2，得到 1/8。選項中的 2（高度比）、4（底面積比）都是停在半途的錯誤答案，16 則是多乘了一次。 容量比正確，杯數卻取錯方向：小杯是大杯的幾分之一，與大杯可裝滿幾個小杯，兩者互為倒數。可用「大杯水量÷小杯容量」確認。 只判斷一項敘述就選組合答案：應分別標記各敘述談的是邊長、角度或面積，逐項判斷後再核對組合。分數若以圖片呈現，也要先讀清楚實際數值，不能自行猜測。 記憶口訣 「長一次、面二次、體三次；對應角度不改變。」先求新舊長度比 k，再依比較的量選用 k、k² 或 k³。 「求倍率，新除原；求杯數，大除小。」把比較方向寫清楚，就能避免縮放倍率與容量杯數互相顛倒。