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學習重點 先設未知數，再翻譯數量關係：把「還要幾年」「除數是多少」「購買幾罐」設為未知數，並確認每個式子代表的意義。 掌握同時變動與差量：時間增加時，年齡與年資會一起增加。被除數看錯時，則利用兩個商的差建立等式。 優惠須依完整組數計算：「每買幾罐」以完整的一組為單位，未滿一組的部分不可直接套用整組平均折扣。 相等與較便宜分開判斷：先找出兩方案費用相等的數量，再檢查整數限制、範圍，以及其他數量下哪個方案較便宜。 答案一定要代回：檢查原條件是否成立，並確認求出的數字是不是題目真正要問的量。 核心觀念 一、列方程式的共同步驟 應用題的關鍵，是把文字轉成數量關係。可依序進行：設未知數、表示相關數量、列等式、解方程式、代回檢查。設未知數時應寫清楚單位，例如「設還要工作 x 年」，避免算出退休年齡後，就直接把它當成剩餘工作年數。 列式時，等號兩邊必須代表相同種類的量，例如總費用對總費用，或正確的商對錯誤的商加上差額。題目若限制購買數量不超過某數，解出後還須檢查範圍。 二、年齡與年資同時增加：一年的效果要算兩次 若工作不中斷，每經過一年，實足年齡增加一歲，服務年資也增加一年，所以「年齡＋年資」每年增加 2。 例如恰滿 30 歲開始工作，現在恰滿 50 歲，現有年資為 50－30＝20 年。設還需工作 x 年，則未來年齡為 50＋x，未來年資為 20＋x。依兩者合計達 90 的條件，可列： （50＋x）＋（20＋x）＝9070＋2x＝90x＝10 也可以先算目前合計為 70，距離門檻還差 20。由於每年合計增加 2，所以需要 20÷2＝10 年。代回可得年齡 60 歲、年資 30 年，合計確為 90。 一般化：目前年齡為 a、年資為 s、合計門檻為 T，且尚未達標時，剩餘時間可由（a＋x）＋（s＋x）＝T 求得，即 x＝（T－a－s）÷2。這是依題設條件建立的數學模型，不宜自行加入題目未提及的退休規定。 三、被除數看錯：利用商的差列式 當兩次計算使用同一個除數時，可以把兩個商相減。設除數為 M，正確被除數為 A，誤看成 B，且錯誤答案比正確答案小 d，則： A÷M－B÷M＝d（A－B）÷M＝d 例如把 840 誤看成 480，所得的商少了 30，表示正確的商減去錯誤的商等於 30，因此： 840÷M－480÷M＝30360÷M＝30M＝12 若題目問的是所在區間，求出 M 後還要比較端點。因為 11＜12＜14，所以 M 落在 11 與 14 之間。也可代回驗算：840÷12＝70，480÷12＝40，兩者相差 30。 判斷關鍵：少掉的是「商的數值」，不能把 30 直接當成除數，也不能把被除數相差的 360 當成最後答案。 四、優惠費用相等：先辨認每組實付多少 設每罐原價為 p，且 p＞0，購買數量 n 為正整數。兩方案比較的是取得相同罐數時的總付款，應先釐清免費與折扣的計算單位。 方案完整一組的付款每組省下未滿一組的處理 甲：每買 5 罐，其中 1 罐免費取得 5 罐，支付 4p1p不足 5 罐的剩餘部分按原價 乙：每買 2 罐，第 2 罐 6 折取得 2 罐，支付 p＋0.6p＝1.6p0.4p剩餘單罐按原價 設 a 為 n÷5 的整數商（完整五罐組數），b 為 n÷2 的整數商（完整兩罐組數），兩方案費用可分別表示為： 甲：np－ap乙：np－0.4bp 因此，費用相等的條件為 np－ap＝np－0.4bp。消去相同的原價總額與正數 p，可得a＝0.4b，亦即 5a＝2b。也就是說，兩方案「省下的錢」必須一樣多。注意 a、b 都由同一個購買數量 n 決定，不能任意配對。 五、有限整數範圍：列表找齊所有相等情況 購買數量不超過 10 罐時，逐一列出付款最清楚。下表以「單罐原價的倍數」表示費用，例如 4.2 代表支付 4.2p。 購買罐數甲方案付款倍數乙方案付款倍數比較 111相同 221.6乙較便宜 332.6乙較便宜 443.2乙較便宜 544.2甲較便宜 654.8乙較便宜 765.8乙較便宜 876.4乙較便宜 987.4乙較便宜 1088相同 因此在正整數範圍內，購買 1 罐或 10 罐時，兩方案付款相同。買 1 罐時兩者都未達優惠門檻，均付 p。買 10 罐時，甲有兩組五罐優惠，支付 10p－2p＝8p；乙有五組兩罐優惠，支付 5×1.6p＝8p。 理由可歸結為：兩方案在完整優惠組內的平均付款都是原價的八成（4÷5＝0.8，1.6÷2＝0.8），而 10 是 5 與 2 的最小公倍數，此時兩方案都恰好全部成組、沒有零頭，所以總付款相同。平均折扣相同，不代表任意購買數量的總付款都相同，一旦出現未成組的零頭，就要另外計算。 常考陷阱 把距離門檻的差直接當成年數：年齡與年資合計還差 20，不代表還要工作 20 年。每工作一年，合計增加 2。 誤用年齡的包含計數：從恰滿 30 歲到恰滿 50 歲，經過 20 年，不是把 30 歲與 50 歲都算進去而得到 21 年。「剛好滿」也沒有額外加減半年的依據。 顛倒商的差：「錯誤答案比正確答案小 30」應列成正確商－錯誤商＝30。列式後可用代回檢查差的方向。 把求出的值當成區間端點：題目問 M 介於哪兩數之間時，要選「包含 12」的區間，而不是找端點出現 12 或 30 的選項。 把其中一罐免費看成另送一罐：五罐之中有一罐免費，表示取得五罐、付四罐的錢。不可改成付五罐、取得六罐。 把第二罐六折當成兩罐都六折：一組付款為 1＋0.6＝1.6 倍原價，整組平均為八折。六折是付原價的 60%，省下的是 40%。 未滿組數也套平均折扣：整組平均八折不能直接用於所有罐數，剩餘零頭須按原價另計。例如買 5 罐時，乙方案為兩組加一罐，付 4.2p，不是 4p。 只找共同組數，漏掉無優惠時也相等：10 是完整優惠共同適用的數量，但只買 1 罐時兩者也同價。題目未要求必須享有優惠，就不能漏列。 只寫相等，沒有說明理由：申論作答應交代兩方案各付多少，讓等式或計算直接支持結論。通常不把購買 0 罐列為答案。 記憶口訣 年齡年資一起長，差額除二算時長；同除數，商相減，被除數差放上面；優惠先分組，零頭另計付；相等找公倍，也查未優惠。